一様分布（連続型）
一様分布は、ある有限区間内のすべての値が等しい確率で発生する確率分布です。例えば、区間 [0, 1] 上の連続一様分布を考えてみましょう。この場合、確率変数$${X}$$ は0から1までの任意の値を等しい確率で取ることができます。確率密度関数  は次のようになります。
$${f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}  }$$
この関数は、$${X}$$ が0から1の間の値を取るときは常に1となり、それ以外の値では0です。これは、区間 [0, 1] 内のどの値も同じ確率で発生することを意味しています。

期待値と分散
この一様分布の期待値 $${E[X]}$$ と分散 $${\text{Var}(X)}$$ を計算してみましょう。$${subsubsection*{期待値} }$$ $${ E[X] = \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2} }$$これは、区間 [0, 1] の中点を示しています。 \subsubsection*{分散} \[ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \] ここで $${E[X^2]}$$は $${EX^2] = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3} }$$よって、 $${\text{Var}(X) = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \] \end{document}}$$