「京医６名、阪医4名合格講師」による受験対策講座（785)
　学校革命＝スクールレボリューション（４７６）
２０２４年度、京大（理系）１番を ChatGPT にやらせてみた
ｎ個の異なる色を用意する。立方体の各面にいずれかの色を塗る。各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする。辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率をＰんとする。次の問いに答えよ。
⑴、P4を求めよ。
⑵、lim(n→∞)Pn を求めよ。
⑴　まず、P4 を求めるために、全ての面に異なる色を塗る確率を計算します。
立方体の面は全部で 6 面あり、異なる色を n 個用意することができます。一つの面に異なる色を塗る方法の数は n 通りです。したがって、全ての面に異なる色を塗る方法の数は n の 6 乗になります。
同様に、全ての面に同じ色を塗る方法の数は 1 通りです。
よって、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率 P4 は次のように計算できます。
�4=�6−��6P4=n6n6−n​
これで P4 を求めることができます。
⑵　次に、n を無限大に近づけるときの Pn を求めます。
n が無限大のとき、立方体の各面に異なる色を塗る確率は 1 に近づきます。これは、異なる色を無限に用意できるためです。
よって、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率 Pn は次のようになります。
lim⁡�→∞��=1limn→∞​Pn=1
したがって、lim⁡�→∞��=1limn→∞​Pn=1 です。
マイクロソフトの　Copilot の解答
この問題は、立方体の各面に異なる色を塗る確率を求めるものです。以下にその解答を示します。
⑴、P4を求める
立方体の各面に異なる色を塗る場合の数は、最初の面には4色から選べ、次の面には残りの3色から選べ、その次の面には残りの2色から選べ、最後の面には残りの1色しか選べないので、4! = 24通りとなります。
一方、全ての面に色を塗る場合の数は、各面に4色から選べるので、4^6 = 4096通りとなります。
したがって、P4 = 24 / 4096 = 0.005859375 となります。
⑵、lim(n→∞)Pn を求める
nが無限大に近づくと、立方体の各面に異なる色を塗る確率は0に近づきます。これは、色の数が無限大に増えると、全ての面に異なる色を塗る確率は無視できるほど小さくなるからです。
したがって、lim(n→∞)Pn = 0 となります。
 
グーグルの Gemini の解答
⑴ P4 を求めよう
4つの異なる色を用意して立方体の各面に塗る場合、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率 P4 は、以下の式で求めることができます。
P4 = 1 - (3/4)^6
これはなぜでしょうか？
まず、立方体の6面に4つの色を塗り分ける総通り数は、4^6通りです。
次に、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られない場合の総通り数を考えます。
この場合、以下の2つのパターンが考えられます。
パターン1: 1つの色が3つの面に塗られ、残りの3つの色がそれぞれ1つの面に塗られる場合
このパターンは、4つの色から1色を選ぶ4C1通りの方法と、3つの面に同じ色を塗る3P3通りの方法、残りの3つの面にそれぞれ異なる色を塗る3!通りの方法の積で求まります。
パターン1の通り数 = 4C1 * 3P3 * 3! = 4 * 1 * 6 = 24
パターン2: 向かい合う2組の面がそれぞれ同じ色で塗られる場合
このパターンは、4つの色から2色を選ぶ4C2通りの方法と、2組の面を選ぶ2C2通りの方法、それぞれの面に塗る色の順序を決定する2!通りの方法の積で求まります。
パターン2の通り数 = 4C2 * 2C2 * 2! = 6 * 1 * 2 = 12
よって、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られない場合の総通り数は、パターン1とパターン2の通り数の合計である24 + 12 = 36通りです。
最後に、P4は、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる場合の総通り数と、立方体の6面に4つの色を塗り分ける総通り数の比で求まります。
P4 = (4^6 - 36) / 4^6 = 1 - (3/4)^6
答え: P4 = 1 - (3/4)^6
⑵ lim(n→∞)Pn を求めよう
n個の異なる色を用意して立方体の各面に塗る場合、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率 lim(n→∞)Pn は、以下の式で求めることができます。
lim(n→∞)Pn = 1 - 1/e
これはなぜでしょうか？
n個の異なる色を用意して立方体の各面に塗る場合、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られない場合の総通り数は、以下の式で求めることができます。
(n-1)^6
これは、各面に塗る色がn-1通りであることから導き出すことができます。
よって、P4は、辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる場合の総通り数と、立方体の6面にn個の色を塗り分ける総通り数の比で求まります。
Pn = (n^6 - (n-1)^6) / n^6 = 1 - (1 - 1/n)^6
ここで、n→∞とすると、(1 - 1/n)^6はe^(-6)に近づきます。
lim(n→∞)Pn = 1 - e^(-6) = 1 - 1/e
答え: lim(n→∞)Pn = 1 - 1/e
 
私（人間）の解答
⑴　3/128
⑵   1
 
★当塾の医学部合格実績★
京大医学部医学科６名（2024,2022, 2016, 2014, 2013）
阪大医学部医学科４名（2023-3名、2014）
名大医学部医学科２名（2018, 2013）
　
高木繁美。「高木教育センター」塾長。
　名古屋大学卒業後、アメリカユタ州で中学校教師をした後、帰国。英検１級、通訳ガイドの国家試験、
国連英検Ａ級、ビジネス英検Ａ級などに合格。京大二次試験を７回受けて出題傾向を調査。英語８１％、
数学７０％の正解率。少林寺拳法二段。ジャッキー・チェンの前でヌンチャクを披露したことが自慢。
「私の京大合格作戦」（エール出版）2020年度版から2022年度版に漫画化されて掲載。チャットワー
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桑名市で指導中。God bless you. 指導を希望される方は、HPをご覧ください。