Bose理想気体、Fermi理想気体の大分配関数と分布関数をゆっくり計算します。

大分配関数の計算

準備

まず、大分配関数を定義通り計算します。この計算はBose気体、Fermi気体のどちらの場合についても、成り立ちます。状態は、それぞれの1粒子状態の占有数を指定すれば決まります。

$$
\Xi = \displaystyle\sum_{n_1=0}^\infty 
\displaystyle\sum_{n_2=0}^\infty \cdots
\exp \left[ -\beta \sum_i (\varepsilon_i - \mu ) n_i \right] 
= \prod_i \sum_{n_i=0}^\infty \exp [ -\beta(\varepsilon_i - \mu)n_i] 
$$

わかりにくいですが、因数分解しています（壮大な因数分解、田崎さん参照）。形式的には$${\sum}$$と$${\prod}$$の交換です。例えば

$$
\displaystyle\sum_{n_1} \sum_{n_2} \sum_{n_3} \prod_{i=1}^3 n_i  = 
\prod_{i=1}^3 \sum_{n_i} n_i
$$

なら、いささか直感的です。

この計算結果は、各エネルギー準位に関する状態が「独立事象」とみなせることを意味します。というのも

$$
\Xi_i  = \displaystyle\sum_{n_i=0}^\infty \exp [ -\beta(\varepsilon_i - \mu)n_i] 
$$

（各エネルギー準位の大分配関数を定義した）とすれば

$$
\Xi = \displaystyle\prod_i \Xi_i
$$

であるからです。

Bose気体の大分配関数

$$
\Xi_i = \displaystyle\sum_{n_i = 0}^\infty \exp[ -\beta ( \varepsilon_i - \mu) n_i ] 
= \dfrac{1}{1 - \exp [ -\beta ( \varepsilon_i - \mu)]}
$$

より

$$
\Xi_{\mathrm{BE}} = \displaystyle\prod_i \dfrac{1}{1 - \exp [ -\beta ( \varepsilon_i - \mu)]}
$$

です。

Fermi気体の大分配関数

$$
\Xi_i = \displaystyle\sum_{n_i = 0}^1 \exp[ -\beta ( \varepsilon_i - \mu) n_i ] 
=1 + \exp[-\beta (\varepsilon_i -\mu)]
$$

より

$$
\Xi_{\mathrm{FD}}  = \displaystyle\prod_i \{1 + \exp[-\beta (\varepsilon_i -\mu)]\}
$$

です。

分布関数の計算

準備

ある特定の１粒子状態jを占める粒子数$${n_j}$$の期待値$${\braket{n_j}}$$を求めます。

$$
\begin{align*}
\braket{n_j}  &= \dfrac{1}{\Xi} \displaystyle\sum_{n_1}\sum_{n_2} \cdots n_j\exp \left[ -\beta \sum_i (\varepsilon_i -\mu ) n_i\right]  \\
&= \dfrac{1}{\Xi} \displaystyle\prod_{i\neq j} \sum_{n_i} \exp \left[ -\beta (\varepsilon_i -\mu ) n_i\right] \times \sum_{n_j} n_j \exp \left[ -\beta (\varepsilon_j -\mu ) n_j\right]
\end{align*}
$$

壮大な因数分解をしました。さらに

$$
\Xi = \displaystyle\prod_i \Xi_i  
= \prod_{i} \sum_{n_i}\exp \left[ -\beta (\varepsilon_i -\mu ) n_i\right]
$$

であったことを思い出せば、大掛かりな約分が実行できることに気づけます。つまり

$$
\begin{align*}
\braket{n_j} &=  \left.\displaystyle\sum_{n_j} n_j \exp \left[ -\beta (\varepsilon_j -\mu ) n_j\right] \right/  \displaystyle\sum_{n_j} \exp \left[ -\beta (\varepsilon_j -\mu ) n_j\right]  \\
&= \dfrac{1}{\beta} \dfrac{\partial}{\partial \mu} \log \left( \displaystyle\sum_{n_j} \exp[-\beta (\varepsilon_j - \mu) n_j]
 \right) 
\end{align*}
$$

と計算できます。この結果は、最初から1粒子状態の大分配関数を用いて計算すればよかったことを示唆します。

Bose気体の分布関数

$$
\braket{n_j}_{\mathrm{BE}} = \dfrac{1}{\beta} \dfrac{\partial}{\partial \mu} \log \left(\dfrac{1}{1 - \exp [-\beta( \varepsilon_j - \mu) ]}
 \right) 
= \dfrac{1}{\exp[\beta(\varepsilon_j - \mu)] - 1}
$$

となります

Fermi気体の分布関数

$$
\braket{n_j}_{\mathrm{FD}} = \dfrac{1}{\beta} \dfrac{\partial}{\partial \mu} \log \left(1 + \exp[-\beta(\varepsilon_j - \mu)]
 \right) 
= \dfrac{1}{\exp[\beta(\varepsilon_j - \mu)] + 1}
$$

となります。

分布関数の見分け方について

Bose気体とFermi気体の分布関数は分母に現れる$${\pm}$$を除いて一致します。Bose気体がマイナス、Fermi気体がプラスですが、これを定性的に見分ける方法を考えてみます。

Bose気体の分布関数は分母にマイナスが現れることにより、低温極限で$${\varepsilon - \mu \simeq 0}$$付近に鋭いピークを作ります。これはボースアインシュタイン凝縮を引き起こします。

Fermi気体の分布関数は分母にプラスが現れることにより、低温極限で$${1 \to 0}$$の階段関数を作ります。これはFermi縮退を引き起こします。

このように分布関数の意味を考えれば、プラスマイナスを識別できます。