Fink や MacPorts と同様に，Homebrew も オープンソフトウェアを macOS にインストールする管理ソフトウェアです（以下リンク）

Homebrew を macOS High Sierra のときにインストールしたあと特に使わずに放置していましたが，今回 Mojave にアップグレードして色々使いたいなと思ったので，アンインストール・再インストールしました．OS が変わるとおかしくなるというのは一般的なことだそうなので… Fink の一件（Mirror ダウン）があったため，ついでに macOS 環境を整えたかった（というか掃除したい）というのもあります．

色んなところに解説ブログ・サイトがあるので，実際，自分もそれらを見ながら進めていますが，今後のために，何をすれば良いのかまとめておこうと思います…
プログラムに疎すぎて，思い立ったときに自力でできないので…

目次
1．Homebrew のアンインストール
2．Homebrew の再インストール
3．困ったときの Doctor 頼み

1．Homebrew のアンインストール

Homebrew のアンインストールは，macOS 標準のターミナルに $ 以下のコマンドをコピペで打ち込めば（もちろんネットワーク環境下で）実行できます．

$ ruby -e "$(curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/Homebrew/install/master/uninstall)"

アンインストールしてると，ところどころ denied 権限がないと表示され，途中で PASSWORD を求められるので，sudo を付けても良いですね．何を削除したのか逐一示してくれるので便利ですが，別のディレクトリにビルドしたパッケージに関しては削除してくれないので個別にやる必要があるかもしれません．基本的に brew install でインストールしたプログラムが削除されます．
アンインストールが完了したら，念のため，ターミナルを再起動します．
再起動後，

$ brew

を実行して，

-bash: /usr/local/bin/brew: No such file or directory

が示されれば，アンインストール完了です．

2．Homebrew の再インストール

Homebrew を再インストールするには，アンインストールと同じ要領で $ 以下のコマンドをコピペすればインストールされます．

$ /usr/bin/ruby -e "$(curl -fsSL https://raw.githubusercontent.com/Homebrew/install/master/install)"

インストールが完了したら，アンインストールと同様にターミナルを再起動します．
再起動後，再び

$ brew

を実行して，

Example usage:
  brew search [TEXT|/REGEX/]
  brew info [FORMULA...]
  brew install FORMULA...
  brew update
  brew upgrade [FORMULA...]
  brew uninstall FORMULA...
  brew list [FORMULA...]

Troubleshooting:
  brew config
  brew doctor
  brew install --verbose --debug FORMULA

Contributing:
  brew create [URL [--no-fetch]]
  brew edit [FORMULA...]

Further help:
  brew commands
  brew help [COMMAND]
  man brew
  https://docs.brew.sh

のメッセージが表示されればインストール完了です．

3．困ったときの Doctor 頼み

Homebrew の再インストールをした後に知ったのですが，Homebrew の調子が悪くなったらまず検査するのが良いと思います．
Homebrew の検査コマンドは以下の通りです．

$ brew doctor

「医者に診せれば分かる」というわけです．自分は再インストール後に実行しましたが，それでも，このまま brew install するとエラーを起こすかもしれない unexpected files があるという警告 "Warning" が出ました．
例：gcc, g++, gfortran など
必要に応じてインストールする予定があるのと，とにかくきれいさっぱりさせておきたかったので，Warning の指示通りにファイルを削除し続けました（吉と出るか凶と出るか…）

sudo rm /usr/local/.........../*       （など）

そして，色々片付けた後に，再度，brew doctor を実行すると，

Your system is ready to brew.

というメッセージが出ます．これで完了です．まさに Doctor 様様です．

第2回目に続く（はず…）