主成分分析(Principle Component Analysis, PCA) は、3D ROI オブジェクトの主な方向（向き）を決定するために使用できます [Solomon2011]。

3 次元のオブジェクトでは、PCAにより 3 つの直交する固有ベクトル（eigen vectors）$${\{e1,e2,e3\}}$$と3つの固有値（eigen values）$${(λ1,λ2,λ3)}$$が得られます。

これらの固有値と固有ベクトルは幾何学的な 3 軸の楕円体を表現します。3つの固有ベクトルは楕円体の向き、固有値は各固有ベクトルに沿って楕円体がどこまで伸びているかを示しています。

主成分分析を利用すると、いくつかの特徴を得ることができます。長軸・短軸・最小軸の長さ（Major Axis Length, Minor Axis Length, Least Axis Length）、伸長（Elongation）、平坦度（Flatness）、長軸・短軸・最小軸で描かれる楕円体の体積およびこの楕円体の面積の近似値です。

楕円体の体積と面積は、メッシュベースの体積と面積との比をとり、それぞれ、体積密度、面積密度という特徴を提供します。

Major Axis Length, Minor Axis Length, Least Axis Length

固有値は、その大きさによって、$${λmajor≥λminor≥λleast}$$に並べることができ、それぞれ楕円体の長軸、短軸、最小軸に対応します。

長軸、短軸、最小軸の半軸の長さ$${a, b, c}$$はそれぞれ、$${2 \sqrt{λ_{major}}}$$、$${2 \sqrt{λ_{minor}}}$$、$${2 \sqrt{λ_{least}}}$$となります。

長軸の長さは半軸の長さ$${a}$$の2倍であり、ボクセル$${X_c}$$の点集合のPCAによって得られる最大の固有値を使用して決定されます[Heiberger2015]。短軸、最小軸も同様の考え方で計算されます。

$$
F_{morph.pca.major} = 2a = 4 \sqrt{λ_{major}}
$$

$$
F_{morph.pca.minor} = 2b = 4 \sqrt{λ_{minor}}
$$

$$
F_{morph.pca.least} = 2c = 4 \sqrt{λ_{least}}
$$

Elongation（伸長）

長軸と短軸の長さの比です。これは、ROIボリュームの幅と長さの比ですから、偏心の程度の尺度とみなすことができます。

計算上の理由から、Elongationは逆比として表されます。

$$
F_{morph.pca.elongation} = \sqrt {\frac{\lambda_{minor}} {\lambda_{major}}}
$$

1 は完全に非伸長で球体を示し、値が小さいほど ROI ボリュームの伸長が大きいことを表します。

Flatness（平坦度）

長軸と短軸の長さの比は、ROI ボリュームがその長さに対してどの程度平らであるかを示していると見なすことができます。

計算上の理由から、Flatnessは逆比で表されます。

$$
F_{morph.pca.flatness} = \sqrt {\frac{\lambda_{least}} {\lambda_{major}}}
$$

1 は完全に平らでない、例えば、球体であり、値が小さいほど平らな物体であることを表します。

Volume density (approximate enclosing ellipsoid):体積密度

ROIボクセル中心点の集合$${X_c}$$をPCAした結果得られる固有ベクトルと固有値は、点群を近似する楕円体[Mazurowski2016]、近似楕円体（Approximate Enclosing Ellipsoid, AEE）を表現できます。

この近似楕円体の体積は次のように計算されます。

$$
V_{aee} = 4 \pi abc/3
$$

a, b, cは長軸、短軸、最小軸の半軸の長さです。

体積密度(AEE)は次のように計算されます。

$$
F_{morph.v.dens.aee} = \frac {V} {V_{aee}} = \frac {3V} {4 \pi a b c}
$$

Area density (approximate enclosing ellipsoid):面積密度

楕円体の表面積の評価は難しいため、無限級数を用いて近似することで算出します。

体積密度(AEE)と同じように、各軸の半軸を使用して次のように定義されます。

$$
A_{aee(a,b,c)} = 4 \pi ab {\displaystyle\sum_{v=0}^\infin {\frac {(\alpha \beta)^{\nu}} {1-4 \nu^2}}} P_{\nu} (\frac {\alpha^2 + \beta^2} {2 \alpha \beta})
$$

$$
\alpha = \sqrt {1 - b^2/a^2}
$$

$$
\beta = \sqrt {1 - c^2/a^2}
$$

αとβは楕円体の偏心量であり、$${P_{\nu}}$$は次数$${\nu}$$におけるルジャンドル多項式関数です。ルジャンドル多項式級数は無限に繰り返すことができますが、精度の増加が限界に達するように収束していくため、近似の繰り返し計算を早期に停止することができます。IBSIリファレンスでは、デフォルトで$${\nu = 20}$$で繰り返し計算を停止することを前提にしています。

最終的に、面積密度は次のように求められます。

$$
F_{morph.a.dens.aee} = \frac {A} {A_{aee}}
$$

実践

RadiomicsJを使って、IBSIデジタルファントムからこれらの特徴を計算してみます。

ImagePlus[] imgAndMask = TestDataLoader.digital_phantom1();
MorphologicalFeatures molph = new MorphologicalFeatures(imgAndMask[0], imgAndMask[1], 1);
		
Double major = molph.calculate(MorphologicalFeatureType.MajorAxisLength.id());
Double minor = molph.calculate(MorphologicalFeatureType.MinorAxisLength.id());
Double least = molph.calculate(MorphologicalFeatureType.LeastAxisLength.id());
Double elong = molph.calculate(MorphologicalFeatureType.Elongation.id());
Double flat = molph.calculate(MorphologicalFeatureType.Flatness.id());
Double v_aee = molph.calculate(MorphologicalFeatureType.VolumeDensity_ApproximateEnclosingEllipsoid.id());
Double a_aee = molph.calculate(MorphologicalFeatureType.AreaDensity_ApproximateEnclosingEllipsoid.id());

System.out.println(MorphologicalFeatureType.MajorAxisLength+":" + major);
System.out.println(MorphologicalFeatureType.MinorAxisLength+":" + minor);
System.out.println(MorphologicalFeatureType.LeastAxisLength+":" + least);
System.out.println(MorphologicalFeatureType.Elongation+":" + elong);
System.out.println(MorphologicalFeatureType.Flatness+":" + flat);
System.out.println(MorphologicalFeatureType.VolumeDensity_ApproximateEnclosingEllipsoid+":" + v_aee);
System.out.println(MorphologicalFeatureType.AreaDensity_ApproximateEnclosingEllipsoid+":" + a_aee);

//出力
3D [dev] 1.6.0-scijava-2-pre11-daily-experimental daily// 正常なログ

MajorAxisLength:11.402387266727745
MinorAxisLength:9.308010776621934
LeastAxisLength:8.535981219598838
Elongation:0.8163212280802619
Flatness:0.7486135157421725
VolumeDensity_ApproximateEnclosingEllipsoid:1.1728172047931376
AreaDensity_ApproximateEnclosingEllipsoid:1.3551287251708304

参考文献

• Chris Solomon and Toby Breckon. Features. In Fundamentals of Digital Image Processing, chapter 9, pages 235–262. John Wiley & Sons, Ltd, Chichester, UK, jan 2011.

• Richard M Heiberger and Burt Holland. Statistical Analysis and Data Display. Springer Texts in Statistics. Springer New York, New York, NY, 2015. ISBN 978-1-4939-2121-8.

RadiomicsJの引用はこちら

Kobayashi, T. RadiomicsJ: a library to compute radiomic features. Radiol Phys Technol 15, 255–263 (2022). https://doi.org/10.1007/s12194-022-00664-4

RadiomicsJのリンク

https://github.com/tatsunidas/RadiomicsJ

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