分配法則　掛け算

この分野の基本になる分配法則をマスターしましょう。

2x（2xー3y）
=2x×2x＋2x×(ー3y)
=4x²－6xy

カッコの中３つでも同じ。
a（bーc＋d）
=abーac＋ad

順番逆でも同じ。
（ー2x＋3y）×（ー2y）
=4xyー6y²

分配法則　割り算

割り算は順番が大事。

４÷２と２÷４だと答えが違います。

割り算は交換法則が使えません。

（12x²yー8xy²）÷4xy
=12x²y÷4xyー8xy²÷4xy
=3xー2y

分数バージョンも出来るようにしましょう。
（6xyー4x）÷2/3 x
=（6xyー4x）×3/2x
=6xy×3/2xー4x×3/2x
=9yー6

ポイントは文字が元々上にあるのか下にあるのか。

元々上にあるから、逆数にすると下になる。

式の展開

ここからは完全に中３の内容です。

まずは４回掛け算パターン。

(a＋b)(cーd)
=a×c＋a×(ーd)＋b×c＋b(ーd)
=acーad＋bcーbd

次は６回掛け算パターン。
(aーb)(2aーb＋3c)
=a×2a＋a×(ーb)＋a×3cーb×2aーb×(ーb)ーb×3c
=2a²－ab＋3acー2ab＋b²ー3bc
=2a²ー3ab＋3ac＋b²ー3bc

同類項をがあればまとめましょう。

乗法公式①

(x＋〇)(x＋△)
=x²＋（〇＋△）x＋〇×△

真ん中は足したやつ、最後は掛けたやつ。

ｘのところがたまにｙやaになってたりするので注意してください。

(a＋2)(aー3)
=a²－aー6

乗法公式②

(〇＋△)²
=〇²＋2×〇×△＋△²

(x＋5)²
=x²＋2×x×5＋5²
=x²＋10x＋25

(yー4)²
=y²＋2×y×(ー4)＋(ー4)²
=y²－8y＋16

(2xー3y)²
=(2x)²＋2×2x×(ー3y)＋(ー3y)²
=4x²－12xy＋9y²

真ん中がマイナスだったらマイナス！なんて覚え方をしてしまうと、
(ーxーy)²のような問題で間違えます。

真ん中は２×前×後ろ！！！

乗法公式③

和と差の積と呼ばれる公式です。

足したやつと引いたやつを掛けると２乗引く２乗になる。

公式自体は１番覚えやすいかもしれませんが、形を変化させて出題される可能性があります。

あとは分数パターンも多いです。

(x＋3)(xー3)
=x²－9

逆でも一緒です。
(xー3)(x＋3)
=x²－9

意地悪なパターン。
(3＋x)(xー3)
=(x＋3)(xー3)
=x²－9

置き換えパターン

置き換えパターンも頻出です。

乗法公式も使うので、乗法公式が不安な人はまず乗法公式を確認しましょう。

(a＋b＋2)(a＋bー3)
a＋b＝Aとすると
(A＋2)(A－3)
=A²－A－6
Aをa＋bに戻すと
(a＋b)²－(a＋b)ー6
=a²＋2ab＋b²ーaーbー6

(a＋bーc)²
a＋b=Aとすると
(Aーc)²
=A²ー2Ac＋c²
Aをa＋bに戻すと
(a＋b)²－2c(a＋b)＋c²
=a²＋2ab＋b²ー2acー2bc＋c²

乗法公式ー乗法公式パターン

乗法公式を使ってかっこを外すのですが、引き算の場合は符号を逆にする必要があるので、かっこを付けっぱなしにします。

複雑ですが、ほぼ100％出題されるので覚えましょう。

(x＋3)(xー3)ー(xー2)²
=x²－9－(x²－4x＋4)
=x²－9－x²＋4xー4
=4xー13

因数分解　共通因数パターン

ここからは因数分解です。

今までせっせとカッコを外してきましたが、逆にカッコを付けていきます。

本当に真逆なので、式の展開が出来ないと因数分解は出来ないです。

必ず分配法則、乗法公式を確認しましょう。

まずは共通因数でくくるパターン。

共通因数は数字で言ったら公約数、文字で言ったら両方に入ってる文字。

2a＋2b
=2(a＋b)

abーac
=a(bーc)

4x²yー10xy²
=2xy(2xー5y)

因数分解　乗法公式①パターン

ここからは乗法公式を使って因数分解していきます。

x²＋5x＋6
=(x＋〇)(x＋△)

〇と△には何が入るか？を考えるのが因数分解です。

〇＋△＝５
〇×△＝６

こんな〇と△を考えるのですが、必ず先に掛け算の方から考えます。

足し算して５になる数字は無限にあるからです。

１００＋（－９５）とか。

掛け算して６になる整数の組み合わせは少ないです。

１×６
２×３
ー１×（ー６）
－２×（－３）

この４組しかないです。

この中で足して５になるのは２と３です。

だから答えは(x＋2)(x＋3)です。

あとはひたすら問題を解くのみです。

因数分解　乗法公式②パターン

乗法公式②のパターンは、①パターンで解いてしまうと面倒です。

(x＋2)(x＋2)と書くと不正解になるからです。

(x＋2)²が正解です。

この間違いを防ぐには、②パターンで解く必要があります。

そこで有効なのが、整数を２乗した数字を覚えることです。

１～９まではかけ算九九ですが、意識しないと気が付かないかもしれません。

更に１１²～１５²まで覚えましょう。

覚えて損はない、というよりも得します。

16x²－24xy＋9y²

共通因数でくくれないので、公式を使うしかありません。

着目すべきは16と9。

両方とも整数を２乗した数字になっています。

このパターンは乗法公式②です。

答えは(4xー3y)²。

真ん中のー24xyは検算して合ってればOKです。

因数分解　乗法公式③パターン

③パターンは判別が簡単です。

項が２つしかないからです。

25x²－y²
=(5x＋y)(5xーy)

分数バージョンも出来るようにしましょう。

因数分解　共通因数＋乗法公式パターン

因数分解で最初にやるべきことは共通因数でくくることです。

公式を使った因数分解を繰り返し演習すると、共通因数でくくる因数分解を忘れてしまう人がいます。

ax²－2axー24a
=a(x²－2xー24)
=a(xー6)(x＋4)

このパターンもほぼ100％出るので出来るようにしましょう。

因数分解　置き換えパターン①

(a＋b)²ー5(a＋b)＋6

この問題、カッコを外してまとめてから因数分解をしようとするとドツボにハマります。

同じ組み合わせが見えたら置き換えパターンです。

a＋b＝Aとすると
A²ー5A＋6
=(Aー2)(Aー3)
Aをa＋bに戻すと
(a＋bー2)(a＋bー3)

因数分解　置き換えパターン②

ab+bーaー1

項が４つあるけど、共通因数でくくれない場合はこのパターン。

無理矢理置き換えにもっていきます。

ab+bーaー1
=b(a＋1)ー(a＋1)
a＋1＝Xとすると
bXーX
=X(bー1)
=(a＋1)(bー1)

データの活用

先生によっては試験範囲に入らない可能性もありますが、学力調査や入試では頻出の分野です。

自分で箱ひげ図が描けるようになると、大半の問題は解けるはずです。

用語でいうと、四分位範囲を求められるようにしましょう。

正誤問題になっていることも多いので、諦めず箱ひげ図から情報を読み取りましょう。