単項式と多項式

単項式→項が１つの式
3
2x
ー5x²
ー0.2abc
など

多項式→項が２つ以上の式
x＋２
x²－3xー4
ab＋bcーca
など

単項式の項を聞かれたらそのまま答える。

ー5abcdefgの項はー5abcdefg

多項式の項を聞かれたらバラバラにして答える。
a²－2b²＋3c²の項はa , ー2b² , 3c²

次数

次数は文字が何個あるかを数える。

単項式と多項式で少しだけ数え方が違う。

問題の聞き方によって、「１次」とか「１次式」とか答え方が違うので、問題をよく読みましょう。

☆単項式の場合
ー３x
文字はxの１つだけだから次数は１。

2abc
文字はa, b, cの３つだから次数は３．

a²
a²はa×aのことなので、２つだから次数は２。

☆多項式の場合
多項式の場合は注意が必要です。

多項式の場合は、項ごとに次数を考えて、その中で最も高い次数が式全体の次数になります。

例えば、abc＋bcーaの次数は３です。

abcの次数は３。
bcの次数は２。
ーaの次数は１。

最も次数の高い３がabc＋bcーaの次数です。

同類項をまとめる

同類の項を足したり引いたりしてまとめていきます。

同類とは同じ文字のことです。

2a＋3a
=5a

2bー3b
=ーb

ーabー2ab
=ー3ab

ここからが要注意。

a²＋aはもう計算出来ません。

a²とaは同類ではありません。

a＋2ももう計算出来ません。

もう少し実践的な問題で確認しましょう。

2aー3bに3aー2bを足してみましょう。

（2aー3b）＋（3aー2b）
=2aー3b＋3aー2b
=5aー5b

ひっ算バージョンも確認しましょう。

　　2aー3b
＋）3aー2b
￣￣￣￣￣￣
　　5aー5b

足し算は割とそのままです。

問題は引き算です。

2aー3bから3aー2bを引いてみましょう。

（2aー3b）ー（3aー2b）
=2aー3bー3a＋2b
=ーaーb

引き算の場合は足し算に換える時（カッコを外す時）符号が逆になるので注意が必要です。

これはひっ算でも同じです。

　　2aー3b
ー）3aー2b
￣￣￣￣￣￣
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

　　　2aー3b
＋）ー3a＋2b
￣￣￣￣￣￣
　　　ーaーb

引き算のひっ算は書き方もポイントなので、学校の先生、塾の先生などに従いましょう。

掛け算割り算

掛け算割り算は表裏一体です。

なぜなら割り算は掛け算に換えることが出来るからです。

ということで、掛け算に関するルールを一通り復習しましょう。

☆符号のルール
①プラス×プラス＝プラス
②プラス×マイナス＝マイナス
③マイナス×マイナス＝プラス

この３パターンだけ。

①は小学生の時からずっと計算しているので問題なし。

②はマイナス×プラスもマイナスになります。

１×２も２×１も答え一緒だから、掛け算は順番関係ありません。

③はイメージしにくいからそのまま覚えましょう。

☆数字×文字のルール
数字×文字の時は、数字が前、文字が後ろ。

２×（ーa）
=ー２a

☆文字×文字のルール
同じ文字は２乗３乗を使って表す。

違う文字はアルファベット順。

ab×bc
=ab²c

ここからが本題です。

☆分配法則
分配法則を使ってカッコを外して同類項をまとめます。

3（aー2b）ー2（3aーb）
=3aー6bー6a＋2b
=ー3aー4b

（12aー6bー3c）÷（ー3）
=ー4a＋2b＋c

☆掛け算
掛け算の基礎的なルールは確認済みなので、２年生バージョンの掛け算を確認していきましょう。

ポイントは計算の順番です。

計算は前に書くものからしていきましょう。

具体的には
①符号
②数字
③文字（アルファベット順）
です。

ー3ab×4bcを計算する時のことを考えましょう。

①符号
マイナス×プラスだからマイナス

②数字
３×４だから１２

③文字
a, b², cだからab²c

まとめるとー12ab²c。

指数（累乗）の計算も確認しましょう。

ー（ーa³）⁴を考えましょう。

先頭のマイナスはちょっと扱いにくいので後回しにしましょう。

（ーa³）³
＝（ーa³）×（ーa³）×（ーa³）
＝ーa⁹

でっ、さっき無視したマイナスが前にあるので
ー（ーa⁹）
＝a⁹

☆割り算
前述の通り、掛け算が出来れば割り算も出来ます。

12abc÷（ー3c）
＝ー4ab

ー10a²÷（ー5a）
＝2a

問題は分数の時です。

割り算で分数が出てきたら掛け算に変換してください。

割り算を掛け算に変換すると、割る数が逆数になります。

更に踏み込んで説明をすると、分数を考える時に大切なのは、上にあるのか下にあるのか、です。

元々上にあるから、逆数にすると下になる。

上下の区別がとても大切です。

xy/3÷xy/6
=xy/3×6/xy
=2

☆掛け算割り算が混ざった計算
掛け算割り算が混ざった計算は、割り算を掛け算に換えましょう。

前から計算していっても良いですが、約分した方が楽なことが多いです。

表記の仕方はいくつかありますが、もし約分を間違えることが多ければ、バラバラに書くと間違えないかもしれません。

3×a×a×a×b×b×c×2×x×y×z
―――――――――――――
6×a×a×c×y×z

こんな感じで指数（累乗）もバラバラにして書くとミスは起こりにくいです。

分数の加減

分子が多項式の分数の足し算引き算は必ず出ます。

特に引き算。

分母が違うので通分をします。

通分をする時に分配法則の計算を暗算しないことをおすすめします。

２つ目の分数の２個目の符号を間違える可能性がグンと上がるからです。

その上で、２つの分数を１つにまとめると尚間違えにくいです。

片方分数になっていないバージョンも出来るようにしましょう。

式の値

いきなり代入せずに、掛け算割り算が混ざった式を計算してから代入しましょう。

符号や指数（累乗）の計算に要注意です。

マイナスの数字を代入する場合はカッコを付けて代入しましょう。

代入する数字はマイナスの数字や分数が出題されやすいので要チェックです。

証明問題　数

証明問題というと難しそうに聞こえますが、「誰にも文句言われないように説明して！」って問題です。

まずは、数字を文字を使って表します。

これは暗記した方が良いです。

２の倍数・・・2n
３の倍数・・・3n
５の倍数・・・5n
７の倍数・・・7n

偶数・・・2n
奇数・・・2n＋1

２つの偶数・・・2n, 2m
２つの奇数・・・2n＋1, 2m＋1

連続する２つの偶数・・・2n, 2n＋2
連続する２つの奇数・・・2n＋1, 2n＋3

連続する３つの整数・・・x, x＋1, x＋2（xー1, x, x＋1）

２桁の整数・・・10a＋b
十の位の数と一の位の数を入れ替えた２桁の整数・・・10b＋a

３桁の整数・・・100a＋10b＋c
百の位の数と一の位の数を入れ替えた３桁の整数・・・100c＋10b＋a

３で割ると２余る数・・・3n＋2
５で割ると３余る数・・・5n＋3

☆mとnなど違う文字を使う場合
例えば「２つの偶数」って時に両方とも「2n」「2n」にしちゃったら、両方とも同じ数字になっちゃいます。

nが３だったら両方６だし、nが５だったら両方10。

そうなると、「２つの偶数」じゃなくて「同じ数」の時だけなんじゃね？ってクレームが入る可能性があります。

それを防ぐために、別の文字を使います。

さて、下準備は終了です。

実践的な問題で確認しましょう。

「偶数と奇数の和は奇数になることを証明しなさい」

３つのパートに分かれます。

①数字を文字を使って表す
②言われた通り計算
③まとめ

①数字を文字を使って表す
m, nを整数とすると、偶数は2m,奇数は2n＋1と表すことができる。

②言われた通り計算
偶数と奇数の和は
2m＋（2n＋1）
＝2（m＋n）＋1

③まとめ
m＋nは整数なので、2（m＋n）は偶数である。
よって2（m＋n）＋1は奇数である。
したがって、偶数と奇数の和は奇数になる。

等式の変形

方程式で習った操作方法を確認しましょう。

特に分数の場合は要注意です。

a=(b＋c)/2　[b]
(b＋c)/2=a
b＋c=2a
b=2aーc

資料の整理と活用

一通り用語を確認しましょう。

特に中央値、最頻値、階級の幅、相対度数。

どの程度出題されるかは、担当の先生によるので、テスト範囲を参考に学習しましょう。

「２年生の１学期」の学習にこだわる先生なら、全く出ない可能性もあります。