[解答] eating
[解説] eating popcorn が副詞の働きをする分詞構文です。分詞構文は、「現在分詞（Ving）＋α」のカタチで文全体を修飾（＝詳しく説明）する働きをします。ちなみに、with Ving というカタチは文法として存在しません。
I don’t want to watch a movie, eating popcorn.（ポップコーンを食べながら、映画は見たくないんだ）

[解答] injured
[解説] Badly injured in the crash が副詞の働きをする分詞構文です。動詞 injure（傷つける、けがをさせる）は、過去分詞 injured にすることで「けがをさせられる＝けがをする」という意味になります。また、ここでは副詞 badly（ひどく）が injured を修飾するカタチで前に置かれています。
Badly injured in the crash, the driver couldn’t even sit up.（その事故で大けがをして、運転手は起き上がることさえできませんでした）

[解答] Speaking
[解説] Speaking of Christmas が副詞の働きをする分詞構文です。speaking of で「～と言えば、～について言えば」という、分詞構文を使った慣用表現です。分詞構文を使った慣用表現は、ひとつのフレーズとしてそのまま覚えてしまったほうがいいです。代表的なものに、judging from～（～から判断すると）、considering～（～を考慮すると）、generally speaking（一般的に言えば）などがあります。
Speaking of Christmas, what should I get my son?（クリスマスと言えば、息子に何を買ったら良いですかね？）

[解答] thinking
[解説] thinking about my life が副詞の働きをする分詞構文です。受け身を表すわけではないので、過去分詞 thought はNG。ちなみに、thought を過去形と考えた場合、I lay on the bed and thought about my life. のように、接続詞を置けば文法的に正しくなります。接続詞なしで動詞をつなげていくのはNG。
I lay on the bed thinking about my life.（ベッドに寝ころんで、自分の人生について考えていました）

[解答] watching
[解説] watching a DVD last night が副詞の働きをする分詞構文です。不定詞 to watch a DVD では「DVDを見るために」という目的を表すため、日本語と合わなくなります。
I fell asleep watching a DVD last night.（昨夜、DVDを見ながら寝てしまったんです）