アメリカのフォークソングが原曲で、さまざまなミュージシャンが歌っています。元々は女性視点で書かれていた歌詞ですが、アニマルズのリードヴォーカルのエリック・バードンに合わせ、男性視点に変えたものと思われます。

https://www.youtube.com/watch?v=RsABMDuV5BM

歌詞の内容は、父親はギャンブラーで母親は縫い子で、新しいブルージーンズを縫ってくれます。家は貧乏です。

「My father was a gambling man down in New Orleans」
は、「父親はニューオーリンズのギャンブラーだった」という意味になります。「down」 は南部への移動や位置を意味することが多いです。また、感情的な意味合いとして、「down」はしばしば困難な状況や問題を抱えている状態を示すことがあります。

主人公は、母親に
「Oh mother, tell your children not to do what I have done
Spend your lives in sin and misery in the House of the Rising Sun」
「母さん、あなたの子供たち（主人公のきょうだいたち）に伝えてください。 僕がしたようなことをしないようにと。 朝日の当たる家で、罪と悲惨の中で人生を過ごすようなことのないように」と訴えています。

主人公は、結局、
「I'm going back to New Orleans to wear that ball and chain」
ということになります。
直訳すると「ニューオーリンズに戻って、その球と鎖を身に着ける」という意味になります。ここでの「ball and chain」は、実際の鎖と重い球（囚人が昔使われていた足枷）を指す言葉ですが、比喩的には重い負担や束縛、特に罪や過去の過ちに縛られることを意味していると解釈した方がいいでしょう。

悲惨な状況を歌っているのに「House of the Rising Sun」というタイトルがついている理由については、確定的な答えは存在しません。この表現が持つ矛盾やアイロニーが、歌のテーマをより際立たせる効果を持っているため、選ばれたのではないかと僕は思います。