Zahlen, bitte! 0 – Nichts und doch so wichtig 16.01.2018 13:37 Uhr André Haase

Zahlen, bitte! 0 – Nichts und doch so wichtig
16.01.2018 13:37 Uhr André Haase
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Zahlen, bitte! 0 – nichts und doch so viel…
Die Null spielt eine zentrale Rolle in der Mathematik, kam aber erst mit Einführung des dezimalen Stellenwertsystems in Mode und ist ein indischer Import, den kein geringerer als Leonardo Fibonacci mitbrachte.

Du bist eine totale "Null", ich schaffe das in "Nullkommanichts", das ist doch echt "Null Problemo", aber ich habe "Null Bock", hier eine "Nullrunde" zu schieben, das gibt es nicht zum "Nulltarif", die Absprache ist "Null und nichtig", da habe ich einfach "Null Toleranz"!

Die Null ist aus dem heutigen Sprachgebrauch nicht wegzudenken. Doch in der Mathematik spielt sie eine noch viel zentralere Rolle: Sie trennt nicht nur positive von negativen Zahlen, sondern ist das neutrale Element der Addition (0 + n = n), das absorbierende Element der Multiplikation (0 × n = 0), die Anzahl der Elemente der leeren Menge und die einzige vorzeichenlose reelle Zahl.

Woher kommt die 0?

Zahlen, bitte!
In dieser Rubrik stellen wir jede Woche Dienstag verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft und der Mathematik selbst vor.

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Aber seit wann gibt es die 0 eigentlich? Man sollte meinen, sie sei so alt wie die Mathematik selbst. Doch weit gefehlt: In der Antike kam man Jahrhunderte lang ohne 0 aus. Damals wollte man in der Regel Dinge zählen, sei es das eigene Vieh oder Wertgegenstände. Über etwas, das man nicht hatte, brauchte man nicht nachdenken.

In Babylonien wurden Stellen ohne Wert durch Lücken dargestellt, aber die 0 noch nicht explizit verwendet. Waren bei einer Subtraktion Minuend und Subtrahend gleich groß, notierte man sich dies, nutzte für das Ergebnis aber kein spezielle Zeichen.

Auch die Römer kannten keine 0, obwohl es die Begriffe "nullum" für "nicht etwas" und "nihil" für "nichts" gab. Wo wir heutzutage Nullen für den Stellenwert angeben, verwendeten sie Buchstaben wie X, C, M, was das Rechnen arg verkomplizierte.

Indirekt arbeiteten aber auch die Römer mit Nullen: Auf einem Rechenbrett ließen die Römer nicht besetzte Stellen einfach frei. Das war beim Rechnen selbst unproblematisch, aber bei der Dokumentation und schriftlichen Darstellung von Mengen nicht eindeutig, weswegen dies dann oft mit einem waagerechten Strich, teils auch kombiniert mit einem kleinen Kreis dargestellt wurde.

Die Maya symbolisierten die 0 durch eine Art Muschel.
Die Maya symbolisierten die 0 durch eine Art Muschel. (Bild: Bryan Derksen, CC BY-SA 3.0)
In Ägypten gab es ab 2. Jahrhundert v. Chr. eine Art Vorläufer der 0: In mathematischen Inschriften wurde die Hieroglyphe für "nichts" verwendet.

Die Maya waren circa 30 v. Chr. die ersten, die explizit ein Zeichen für die 0 verwendeten. Sie wurde im Zahlensystem mit einer Art Muschel dargestellt. Im Maya-Kalender gab es sogar einen Tag 0 – Informatiker wirds freuen.

0 - erfolgreicher Import aus Indien
Das dezimale Stellenwertsystem, wie wir es heute kennen, bildete sich im indischen Raum. Erste Belege für die damals noch als dicker Punkt dargestellte 0 finden sich im Bakhshali-Manuskript um 300 – 400 n. Chr.

Den Weg nach Europa fand die 0 durch den Kaufmann Leonardo da Pisa, heute besser bekannt als Leonardo Fibonacci. Er wurde in Algerien in verschiedenen Rechentechniken unterrichtet. So auch in denen, die indische und arabische Ziffern enthielten.

gemeinfrei
Ausschnitt aus Leonardo Fibonaccis "Liber Abbaci". (Bild: gemeinfrei)
So hatte er die Möglichkeit, diese mit den bisher in Europa verbreiteten Rechenmethoden zu vergleichen. Er erkannte schnell, dass die indische Zahlennotation den anderen Methoden weit überlegen war.

Im ersten Kapitel seines Buches "Liber Ab(b)aci" führt er die noch heute gebräuchlichen Ziffern ein: "Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur." oder auf Deutsch: "Dies sind die neun indischen Ziffern 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Mit ihnen und dem Zeichen 0, im arabischen Zephirum genannt, kann jede beliebige Zahl geschrieben werden, wie unten gezeigt."

Kaufleute und Mathematiker erkannten schnell die Nützlichkeit der indischen Zahlen, weil damit tabellarisches Addieren und Subtrahieren möglich wurde. Durch die vermehrte Nutzung der indischen Zahlen verschwanden die römischen Zahlen Anfang des 16. Jahrhunderts immer mehr aus dem Alltagsleben.

Nicht durch 0 teilen
Siri, was ist 0:0? Apples digitale Assistentin kennt sich mit Mathe aus.
Siri, was ist 0:0? Apples digitale Assistentin kennt sich mit Mathe aus.
Dass die Division durch 0 nicht definiert ist, weiß heutzutage sogar Siri. Fragt man Apples digitale Assistentin, "Was ist 0 geteilt durch 0", antwortet sie anschaulich: "Stell dir vor, du hast 0 Kekse und verteilst sie gleichmäßig auf 0 Freunde. Wie viele Kekse bekommt jeder? Siehst du? Das macht keinen Sinn! Und das Krümmelmonster ist traurig, weil es keine Kekse mehr gibt und du bist traurig, weil du keine Freunde hast … 0 : 0 = unbestimmt".

Früher war man anderer Ansicht. So meinte der berühmte Mathematiker Leonhard Euler, die Division von 1 : 0 = ∞, weswegen er davon ausging, dass es verschiedene große Zahlen ∞ gab. 2 : 0 müsste also nach dieser Logik eine doppelt so große unendliche Zahl als Ergebnis haben wie 1 : 0.

Die 0 in der Informatik
In der Informatik hat die 0 ebenfalls einen großen Stellenwert. So zählt man Elemente in Datenfeldern, Schleifen oder Listen in der Regel ab 0 – so startete auch der Redaktions-Podcast "c't uplink" mit "Episode 0: Ein Podcast-Experiment". Gerade bei Anfängern führt diese Zählweise gerne mal zu "Off by One Errors" (OBOE), mitunter auch "Obi-Wan Error" genannt. Greift man bei einem Array mit 10 Elementen tatsächlich auf Array[10] zu, führt das zu einer Fehlermeldung oder zu einem Zugriff auf irgendwelche zufällig im Speicher liegenden Werte und somit unsinnigen Ergebnissen.

Während die 0 in der Mathematik vorzeichenlos ist, kann es in der Informatik durchaus nützlich sein, mit vorzeichenbehafteten Nullen zu arbeiten. In der Norm IEEE 754 ist das Verhalten der positiven und negativen Null für zahlreiche Operatoren spezifiziert. Hier ergibt per Definition die Rechnung von 1 : 0 = ∞ und 1 : -0 = -∞. Zahlen außerhalb des gültigen Wertebereiches (zu groß oder zu klein) werden als „∞“ und „-∞“ dargestellt, was häufig auch bei arithmetischen Überläufen ein sinnvolles Weiterrechnen ermöglicht.

Wandelt man vorzeichenbehaftete Zahlen versehentlich in vorzeichenlose Zahlen um, gerät man ins Schlamassel. Im mittlerweile wenig gebräuchlichen Einerkomplement wertet man das höchstwertige Bit als Vorzeichen. Eine 0 steht für + und eine 1 für -. Das Nibble (4 Bit) 0000 entspricht also +0, 1111 hingegen -0. In herkömmlicher Binärform stehen diese Werte allerdings für die Zahlen 0 und 15.

Doppelnull und andere Nullen
Bei Agenten steht die 00 für die "Lizenz zum Töten", bei Telefonnetzen hingegen für die "Verkehrsausscheidungsziffer" internationaler Gespräche und manchmal auch fürs stille Örtchen.

Letzteres stammt aus einer Zeit, in der Hotelzimmer noch keine eigenen Toiletten hatten. Stattdessen gab es Etagentoiletten zur gemeinsamen Nutzung, die meist direkt neben den Fahrstühlen oder Treppenaufgängen lagen. Wie in der Informatik begann man die Zählung mit 00, während die Gästezimmer auf jeder Etage mit 01, 02, 03 et cetera bezeichnet wurden.

Es gibt noch zahlreiche weitere Nullen, etwa die Nullpunktenergie, die Nulltemperatur, den Nullraum oder die Nullzeit beim Tauchen.

Die 0 ist also weit mehr als nichts ... (André Haase) / (vza) https://www.heise.de/newsticker/meldung/Zahlen-bitte-0-Nichts-und-doch-so-wichtig-3940651.html

とても興味深く読みました:

\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{latexsym,amsmath,amssymb,amsfonts,amstext,amsthm}

\numberwithin{equation}{section}

\begin{document}

\title{\bf Announcement 412: The 4th birthday of the division by zero $z/0=0$ \\

(2018.2.2)}

\author{{\it Institute of Reproducing Kernels}\\

Kawauchi-cho, 5-1648-16,\\

Kiryu 376-0041, Japan\\

}

\date{\today}

\maketitle

The Institute of Reproducing Kernels is dealing with the theory of division by zero calculus and declares that the division by zero was discovered as $0/0=1/0=z/0=0$ in a natural sense on 2014.2.2. The result shows a new basic idea on the universe and space since Aristotelēs (BC384 - BC322) and Euclid (BC 3 Century - ), and the division by zero is since Brahmagupta (598 - 668 ?).

In particular, Brahmagupta defined as $0/0=0$ in Brāhmasphuṭasiddhānta (628), however, our world history stated that his definition $0/0=0$ is wrong over 1300 years, but, we showed that his definition is suitable.

For the details, see the references and the site: http://okmr.yamatoblog.net/

We wrote a global book manuscript \cite{s18} with 154 pages

and stated in the preface and last section of the manuscript as follows:

\bigskip

{\bf Preface}

\medskip

The division by zero has a long and mysterious story over the world (see, for example, H. G. Romig \cite{romig} and Google site with the division by zero) with its physical viewpoints since the document of zero in India on AD 628. In particular, note that Brahmagupta (598 -668 ?) established the four arithmetic operations by introducing $0$ and at the same time he defined as $0/0=0$ in

Brhmasphuasiddhnta. Our world history, however, stated that his definition $0/0=0$ is wrong over 1300 years, but, we will see that his definition is right and suitable.

The division by zero $1/0=0/0=z/0$ itself will be quite clear and trivial with several natural extensions of the fractions against the mysterously long history, as we can see from the concepts of the Moore-Penrose generalized inverses or the Tikhonov regularization method to the fundamental equation $az=b$, whose solution leads to the definition $z =b/a$.

However, the result (definition) will show that

for the elementary mapping

\begin{equation}

W = \frac{1}{z},

\end{equation}

the image of $z=0$ is $W=0$ ({\bf should be defined from the form}). This fact seems to be a curious one in connection with our well-established popular image for the point at infinity on the Riemann sphere (\cite{ahlfors}). �As the representation of the point at infinity of the Riemann sphere by the

zero $z = 0$, we will see some delicate relations between $0$ and $\infty$ which show a strong

discontinuity at the point of infinity on the Riemann sphere. We did not consider any value of the elementary function $W =1/ z $ at the origin $z = 0$, because we did not consider the division by zero

$1/ 0$ in a good way. Many and many people consider its value by the limiting like $+\infty $ and $- \infty$ or the

point at infinity as $\infty$. However, their basic idea comes from {\bf continuity} with the common sense or

based on the basic idea of Aristotle. --

For the related Greece philosophy, see \cite{a,b,c}. However, as the division by zero we will consider its value of

the function $W =1 /z$ as zero at $z = 0$. We will see that this new definition is valid widely in

mathematics and mathematical sciences, see (\cite{mos,osm}) for example. Therefore, the division by zero will give great impacts to calculus, Euclidean geometry, analytic geometry, differential equations, complex analysis in the undergraduate level and to our basic ideas for the space and universe.

We have to arrange globally our modern mathematics in our undergraduate level. Our common sense on the division by zero will be wrong, with our basic idea on the space and the universe since Aristotle and Euclid. We would like to show clearly these facts in this book. The content is in the undergraduate level.

\bigskip

\bigskip

{\bf Conclusion}

\medskip

Apparently, the common sense on the division by zero with a long and mysterious history is wrong and our basic idea on the space around the point at infinity is also wrong since Euclid. On the gradient or on derivatives we have a great missing since $\tan (\pi/2) = 0$. Our mathematics is also wrong in elementary mathematics on the division by zero.

This book is an elementary mathematics on our division by zero as the first publication of books for the topics. The contents have wide connections to various fields beyond mathematics. The author expects the readers write some philosophy, papers and essays on the division by zero from this simple source book.

The division by zero theory may be developed and expanded greatly as in the author's conjecture whose break theory was recently given surprisingly and deeply by Professor Qi'an Guan \cite{guan} since 30 years proposed in \cite{s88} (the original is in \cite {s79}).

We have to arrange globally our modern mathematics with our division by zero in our undergraduate level.

We have to change our basic ideas for our space and world.

We have to change globally our textbooks and scientific books on the division by zero.

\bibliographystyle{plain}

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\end{thebibliography}

\end{document}


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ysaitoh

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