数学的帰納法は何かよく分からないけどパターン的にこなしていて，実は構造がよく分かっていない人を多く見かけるので，その構造に注目して話を進めていきたいと思います．
私が生徒たちにする説明は次の通りです．

まあ，こんな感じで漸化式に代入してチェックしているということが理解できれば数学的帰納法に関してはいいのですが，もっと深堀すると「じゃあ，なんでこういう証明があるか？」だと思うんですよね．

数学的な流れとしては，実際に整数で具体的に書き出しているうちに「どうもこういう規則性がありそうだな？」というというときに便利な証明ということになりますね．