問題

(1) $${2024}$$の約数の中で$${1}$$番大きいものは$${2024}$$だが，$${6}$$番目に大きいものは[　ア　]である。$${2024}$$の6乗根に最も近い自然数は[　イ　]である。

(2) 関数$${f(x)}$$は実数全体で定義されており，$${x\leqq2}$$において

$$
\frac{2}{3}-\frac{1}{3}x \leqq f(x) \leqq 2-x
$$

を満たしているものとする。数列$${a_{n}}$$は漸化式

$$
a_{n+1} = a_{n} + f(a_{n})
$$

を満たしているものとする。

解説

(1)

$${2024}$$の素因数分解は$${2^3\cdot11\cdot23}$$です。これを踏まえ$${2024}$$の約数を小さい順に並べていくと

$$
1, 2, 4, 8, 11, 22, 23, …
$$

と続いていきます。小さい方から$${6}$$番目の訳数は$${22}$$だから、大きい方から$${6}$$番目の約数は$${2024/22=\bm{92}}$$となります。

次に$${2024}$$の$${6}$$乗根に最も近い自然数を求めます。自然数の$${6}$$乗をいくつかてきとうに計算してみると$${3^6=729<2024<4^6=4096}$$となることが分かるので、$${3< \ ^6\sqrt{2024}<4}$$であり、答えは$${3}$$か$${4}$$のいずれかです。あとは$${2024}$$と$${3.5^6}$$の大小を比較し、$${2024<3.5^6}$$なら$${3}$$、$${2024>3.5^6}$$なら$${4}$$が答えとなります。直接計算すると大変なので、$${3.5^6}$$と$${2024}$$の比を評価します。

$$
\frac{3.5^6}{2024} = \frac{7^6}{2^3\cdot11\cdot23\cdot2^6} = \left(\frac{49}{8\cdot ^3\sqrt{253}}\right)^3<\left(\frac{49}{8\cdot6.2}\right)^3<\left(\frac{49}{49.6}\right)^3<1
$$

より$${3.5^6<2024}$$だから、$${2024}$$の$${6}$$乗根に最も近い自然数は$${\bm{4}}$$です。※今回は計算をさぼろうとうまい評価を試みましたが、結果的には$${6.2^3<253}$$を探すところで時間かかったので$${3.5^6}$$を直接計算するのと大差なかった気もします。

(2)

(i)は数学的帰納法を使ってほしそうなので、背理法で示します。

「$${a_{1}\leqq2}$$のとき、$${a_{m} < a_{1}}$$または$${a_{m} > 2}$$となる自然数$${m}$$が存在する」と仮定します。このような$${m}$$のうち最小のものを$${l}$$とすると、$${l>1}$$であり、$${a_1\leqq a_{l-1}\leqq 2}$$を満たします。このとき、与式より

$$
a_{l} = a_{l-1}+f(a_{l-1}) \leqq a_{l-1} + 2 - a_{l-1} = 2
$$

かつ

$$
a_{l} = a_{l-1} +f(a_{l-1}) \geqq a_{1} + \frac{2}{3}-\frac{1}{3}a_{l-1} \geqq a_1
$$

となり、仮定に矛盾します。したがって、もとの仮定「$${a_{1}\leqq2}$$のとき、$${a_{m} < a_{1}}$$または$${a_{m} > 2}$$となる自然数$${m}$$が存在する」は偽であり、題意は示されました。

続いて(ii)です。極限値が分かっているので、セオリー通り$${|a_{n}-2|}$$を上から抑えて0に収束することを示せばよいです。与式より

$$
|a_{n}-2| = 2 - a_{n} = 2 - (a_{n-1} + f(a_{n-1})) \leqq 2- a_{n-1} - \frac{2}{3} + \frac{1}{3}a_{n-1} = \frac{2}{3}(2-a_{n-1}) 
$$

となり、これを繰り返し用いると

$$
|a_{n}-2| \leqq \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}(2-a_{1})
$$

となります。右辺は$${a_{1}}$$によらず$${n\to\infty}$$で$${0}$$に収束することから、

$$
\lim_{n\to\infty}a_{n}=2
$$

が証明されました。