今回はGPT3.5さんに数学と幾何学の「次元に関する混乱や誤解」に焦点を当てて聞いてみました。

傾き×前次元の要素＝前次元の要素の次の次元の要素？

Q：
ｙ＝２ｘでは、xという1次元の要素に、2という傾きを掛けて初めて、2次元の要素となるyの値という点が定まります。
という事は、
傾き×前次元の要素＝前次元の要素の次の次元の要素
となっていくのでしょうか？

GPT3.5先生：

はい、その通りです。方程式 y=2x では、 x という1次元の要素に傾きである2を掛けることによって、2次元の要素となる y の値が定まります。

これは、1次元の要素に傾きを掛けることで、それを次の次元の要素に変換するという概念です。

一般的に、y=mx の形の直線の方程式では、 m が傾きを表し、x に対して掛けることで、次の次元の y の値が得られます。これは、多くの場面で傾きを用いて次元の変換や変化を表現する有用な手法です。

x^5は5次元という空間上の話？1次元の要素に、傾きを掛けると、2次元の要素になる理由

Q：なぜ1次元の要素に、傾きを掛けると、2次元の要素になるのでしょうか？

そもそも、掛け算という演算は、例えば2×5＝5×2で左辺、右辺ともに10ですが、これは面積、体積で考えると3次元まではイメージできます。

2*5*3*4*5*6・・・など*の数が増える場合、多次元が（図形には表せないけれど、）展開されていっているのですか？

GPT3.5先生：

掛け算が次元の増加とどのように関連するかについて、幾何学的な観点から説明します。

1次元の要素に傾きを掛けると2次元の要素になるというのは、直線の場合を考えることができます。

直線の傾き m は、直線が傾く方向とその傾きの大きさを表します。

1次元の要素である x に傾き m を掛けると、それによって得られる値が2次元の要素である y になります。

つまり、 y は x の値に応じて変化するので、 x と y の組み合わせは2次元平面上の点を表します。

掛け算が次元の増加と関連するのは、幾何学的には次のように考えることができます。

2つの数値 a と b の積 ab は、 a の長さと b の長さをそれぞれの方向に持つ辺を持つ長方形の面積を表します。これは2次元の概念です。例えば、2×5=102×5=10 は、長さ2と長さ5の辺を持つ長方形の面積を表しています。

もし3つの数値 a,b,c の積 abc を考える場合、これは a、 b、 c の長さをそれぞれの方向に持つ長方体の体積を表します。これは3次元の概念です。例えば、2×5×3=302×5×3=30 は、長さ2、5、3の辺を持つ長方体の体積を表しています。

このように、掛け算によって得られる結果は、それぞれの数値の長さや大きさを持つ次元の図形の面積や体積を表します。掛け算によって次元が増加するというのは、このような幾何学的な考え方から理解することができます。

n回掛け算したらn+1次元になる？

Q：
1回掛け算したら1次元、2回掛け算したら3次元、3回掛け算したら4次元・・・n回掛け算したらn+1次元になるということでしょうか？

GPT3.5先生：

掛け算によって次元が増加するというのは、一般的な数学的な概念ではありません。

数学的には、掛け算の回数が次元の増加と直接関連するとは言えません。

掛け算が次元の増加と関連する場合、その背後には幾何学的な解釈があります。

たとえば、2つの数値 a と b の積 ab は、 a の長さと b の長さを持つ辺を持つ長方形の面積を表します。これは2次元の概念です。

また、3つの数値 a,b,c の積 abc は、 a、 b、 c の長さをそれぞれの方向に持つ長方体の体積を表します。これは3次元の概念です。

しかし、掛け算の回数が次元の増加と直接関連するわけではありません。

次元の概念は、一般的には空間の次元や数学的な構造の次元として定義され、単純な掛け算の回数とは関係ありません。

数学的な概念として、次元の増加を扱う場合、通常はより複雑な構造や空間の性質を考えることになります。例えば、ベクトル空間や多様体などのより高次元の数学的な概念がありますが、これらは単純な掛け算の回数とは直接関連しません。

Q：

次元の増加が掛け算だっただけで、掛け算の回数は次元の増加にはならないということで、掛け算は次元が増えるという事象において、結果論だっただけですか？

GPT3.5先生：

掛け算自体が次元を増加させるという性質を持つわけではありません。

掛け算が次元を増加させるというのは、単純に掛け算の結果を幾何学的な解釈で考えた場合に適用される概念です。

例えば、2つの数値 a と b の積 ab は、 a の長さと b の長さを持つ辺を持つ長方形の面積を表します。これは2次元の概念です。また、3つの数値 �a,b,c の積 abc は、 a、 b、 c の長さをそれぞれの方向に持つ長方体の体積を表します。これは3次元の概念です。

しかし、このような幾何学的な解釈は、あくまで掛け算の結果を次元の増加という視点で考えた場合の理解です。

掛け算そのものが次元を増加させる力を持つわけではありません。

掛け算の回数自体が次元の増加に直接関係するわけではありません。

掛け算の回数が次元の増加と関連する場合、それは数学的な概念や問題の解釈において適用される特定の条件や文脈によるものです。掛け算が次元の増加と関連するのは、あくまで特定の視点や解釈の下での議論において適用される結果論と言えるでしょう。

Q：
x^2は2次元、x^3が3次元ですが、x^nがn次元ではないのですか？

GPT3.5先生：

「x^n」は次元という幾何学的な概念ではなく、数学的な式で表された関数です。

そのため、「x^n」が「n次元」であるという表現は幾何学的な概念においては一般的ではありません。

「x^2」や「x^3」は、それぞれ2乗と3乗のポリノミアル関数であり、グラフを描画すると2次元平面と3次元空間における曲線や曲面として現れますが、これらを「2次元」や「3次元」と呼ぶのは、その曲線や曲面が描画される空間の次元を指しています。

一方、「x^n」は、単純に「n」次のポリノミアル関数を表します。この関数は「n」次元の空間に関連付けられるわけではなく、単に「n」次の数学的な操作を表します。

したがって、「x^n」を「n次元」と呼ぶことは一般的ではありません。

2次方程式とは、「2次元という”空間において”」表される式という意味だった！？

Q：
y=xが1次方程式、y=x^2が二次方程式、y=x^3が3次方程式と習っていたので、1次方程式とは、1次元を表す式、その式自体が1次元を表している、2次方程式なら、2次元を表す式で、その式自体が2次元を表している、その式によって二次元が再現できている、3次元より高次元も同じくと思っていましたが、1次元という空間の上で表される式のこと→1次方程式の1次、2次元という空間の上で表される式のこと→2次方程式の2次、の意味だったんですね！！

GPT3.5先生：

そうです、数学的な用語で「1次方程式」「2次方程式」「3次方程式」というのは、その方程式が表現するグラフが何次元の曲線や曲面であるかを示すのではなく、その方程式内に含まれる最高次の項の次数を指します。

• 1次方程式は最高次が1次の方程式で、典型的には直線を表します。

• 2次方程式は最高次が2次の方程式で、典型的には放物線を表します。

• 3次方程式は最高次が3次の方程式で、典型的には3次曲線を表します。

これらの方程式は、それぞれ1次元、2次元、3次元の空間内でのグラフを表現しますが、その空間の次元を直接示しているわけではありません。代わりに、方程式の中の最高次の項の次数を表しています。

Q：
数学での次元で言えば、確かにx^nはn次元だけど、それは空間を意味する1次元、2次元の「次元」とは漢字は同じでも意味が全然違っているということですね。

GPT3.5先生：

はい、その通りです。数学での「次元」という用語は、空間を表す幾何学的な空間の次元とは異なる意味を持っています。

数学での「次元」は、ベクトル空間や多項式の次数など、特定の数学的構造の次元を指す場合があります。

一方、幾何学的な「次元」は、空間内の点の数学的な配置の次元を表します。これらの用語は同じ漢字を使用しますが、異なる概念を指しています。

数学上の次元を幾何学上の次元と混乱しがち？

Q：難しいですね、混乱して覚えてしまっていました。多分、数学的次元としてではなく、すべてのx^nを空間として、幾何学的な空間を表すと、n次方程式をそう思っていました。

中学生で1次方程式、2次方程式、高校生で3次方程式と聞いたら、多分、幾何学的な空間の次元の事だと思っている人も多いのではないしょうか？

GPT3.5先生：

はい、その通りです。数学の教育において、方程式の次数や幾何学的な次元の概念は一般的に混同されやすいです。

特に初等・中等教育の段階では、数学的な概念が幾何学的な視点から教えられることが多く、方程式の次数が幾何学的な次元と関連付けられていることが一般的です。

これらの概念を区別することは重要ですが、初学者にとっては混同が生じやすいことも理解されるべきです。そのため、教育上では明確な説明や例示が必要です。

教育の方法やカリキュラムは地域や時代によって異なる場合があります。過去の教育では、方程式の次数や幾何学的な次元の関連性について、より詳細な説明が十分に行われていなかった可能性があります。

近年では、数学教育において概念の理解をより重視し、混同や誤解を防ぐためにより明確な説明が行われる傾向があります。また、インターネットや教科書などのリソースが豊富になり、生徒が補助的な情報にアクセスしやすくなったことも、このような変化に寄与しています。

感想：
y=x^nはn次元という空間を表しているわけではない数学的概念におけるn次元で、同じ漢字の「n次元」でも幾何学的なものを表している場合と、数学的なものを表している場合があり、誤解されやすいのが高次方程式であるx^nでさえも、4次元以降の多次元空間を表しているという事ですが、実は空間を表す幾何学的概念でのn次元の意味ではなく、数学的意味合いでのn*n*n*n*・・・のn次元であり、数学的意味合いでは、空間の次元は表していないので、いくら高次元の方程式、例えば、x^10だったとしても、それは10次元という空間は表していないということだったんだなと。