抵触日を迎えた後、次のお仕事が見つからなかった場合
派遣元は、休業手当を支払う義務があります。
これは、労働基準局に電話して得た回答でした。
しかし派遣元の担当者に確認すると知らない様子。
その後も確認の回答がなかったため、直接会社に電話しましたが2日後、回答をいただけました。
結論：義務はあり、直近３か月分の給与の平均額の６割を支給するということでした。社会保険もあります。また、有給も使えるそうです。（企業によって多少違いがあるかもしれません）

そして５月からのお仕事がまだ決まりません。
お仕事が少ないのでしょうか。先週から次の人が入ってきて、引き継ぎ業務などをしています。複雑な心持です。
私が登録している派遣会社には社員や無期社員で派遣されてくる方も多くいるので、おそらく、そちらを優先するのでしょう。
おそらく派遣の３年ルールが無ければ、この先も働けたに違いありません。
また、同じ会社に３年以上いられないのに、無期社員になれるのは５年かかるというのも矛盾を感じます。

引き続きハローワークや転職エージェントでも探していきます。