(数学初心者向けの文章ではありません。)

直線は一次関数と呼ばれます。xが1乗まで使って書かれるからです。放物線は二次関数と呼ばれます。このようにどんどん乗数を増やしていくと、波の数が増えていきます。波といえばsinxのグラフですが、sinxをxの何乗かを足し合わせたもので表現できないのでしょうか。それがテイラー展開と呼ばれるものです。現に、sinx=x−(x^3/3!)+(x^5/5!)−・・・ という風に展開できます(特にマクローリン展開と呼ぶ)。この式より、xが十分に小さい時、sinxはxに近似できることがわかります。物理では単振り子の問題を解くときに使う近似です。同じように、cosxは、1−(x^2/2!)+(x^4/4!)−・・・　　　となり、e^xは、1+x+(x^2/2!)+(x^3/3!)+(x^4/4!)+(x^5/5!)+・・・ となります。ここで、e^xのxにixを代入してみます(iは虚数単位で、2乗すると−1になります)。
e^ix=(1− (x^2/2! )+(x^4/4!)−・・・)+i(x−(x^3/3!)+(x^5/5!)−・・・)
前のくくった項はまんまcosxで後ろの項はsinxなので代入して、
e^ix=cosx+isinx
この式はオイラーの公式と呼ばれ、複素数の世界では、指数関数と三角関数は繋がっている、といえます。さらに、この式のxにπを代入すると、
e^iπ=−1
となります。これをオイラーの等式といいます。世界一綺麗な等式と言われていますが、eやiやπと仲良しでないとその素晴らしさはなかなか分かりづらいでしょう。