三元数の破綻について

タイトル通り、三元数のことを考えています。
なぜ考えているかというと、$${n}$$次元球面$${S^{n}}$$が群になるのは$${n}$$がいくつのとき？という問いに向き合っているからです。
(考え中なので答えは教えないでください。楽しみにしています。)

既に「三元数を定義しても演算を考えると破綻する」というネタバレを見ていますが、その議論にいまいち納得がいかない点があり、noteを書いてい