この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。

前回の記事では連続性の公理自体について説明した。この記事では連続性の公理によって導かれる事柄を説明する。

連続性の公理によってまず、平方根の存在が示される。次が成り立つ。

この存在を証明しよう。今、$${A = \{x \in \mathbb{R}: x\ge0, x^2 \le a\}}$$という集合を考える。$${a \ge 1}$$の時、$${1 \in A}$$であり、$${a \lt 1}$$の時、$${a \in A}$$であるため、$${A \neq \phi}$$である。

$${a \le 1}$$ならば、$${1 \in U(A)}$$となる。一方$${a \gt 1}$$ならば、$${x \in A}$$に対して$${x^2 \le a \lt a^2}$$が成立するため、$${x \lt a}$$である。したがって、$${a \in U(A)}$$である。

ここまでで$${A}$$は上に有界かつ、空集合出ないことが示されたので、連続性の公理によって$${b \equiv \sup A \in \mathbb{R}}$$が存在することになる。この$${b}$$が$${b^2 = a}$$となることを示す。

$${A}$$には$${1 \gt 0}$$もしくは$${a \gt 0}$$が含まれていることがわかっているので、少なくとも$${b \gt 0}$$であることはわかる。もし$${b^2 \gt a}$$であったと仮定する。$${\varepsilon = \min \{b, \frac{a-b^2}{3b}\}}$$とおけば、$${\varepsilon \gt 0, b \ge \varepsilon, \frac{a-b^2}{3b} \ge \varepsilon(\Leftrightarrow a \ge b^2 + 3b\varepsilon)}$$であり

$$
(b + \varepsilon)^2 = b^2 + 2b\varepsilon + \varepsilon^2 \le b^2 +3b\varepsilon \le a
$$

となる。したがって、$${b \lt b+\varepsilon \in A}$$が成立する。これは$${b}$$が$${A}$$の上限であることに矛盾する。

一方で$${b^2 \lt a}$$であったとしよう。$${\varepsilon = \min \{b, \frac{b^2-a}{3b}\}}$$とおけば、$${\varepsilon \gt 0, b \ge \varepsilon, \frac{b^2-a}{3b} \ge \varepsilon(\Leftrightarrow a \le b^2 - 3b\varepsilon)}$$であり

$$
(b - \varepsilon)^2 = b^2 - 2b\varepsilon + \varepsilon^2 \ge b^2 -3b\varepsilon \ge a
$$

が成り立つ。ところで$${b-\varepsilon}$$は$${b - \varepsilon \lt b}$$だから、もはや$${A}$$の上界ではないので、$${x \gt b-\varepsilon}$$なる$${x \in A}$$が存在する。したがって$${(b-\varepsilon)^2 \lt x^2 \le a}$$が成立しなくてはならないが、これは上の不等式に矛盾する。

ゆえに$${b = \sup A}$$は$${b^2 = a}$$を満たす。最後に一意性を示そう。$${b_1 \gt 0, b_1 \neq b, b_1^2 = a}$$なる$${b_1 \in \mathbb{R}}$$が存在したとする。このとき

$$
(b-b_1)(b+b_1)=b^2-b^2_1 = a -a =0
$$

が成立する。$${b, b_1 \gt 0}$$だから、$${b+b_1 \gt 0}$$なので、$${b-b_1 =0}$$である必要がある。これは$${b_1 \neq b}$$に矛盾する。以上で証明された。

次回も連続性の公理から導かれることを紹介、証明していくことにする。