この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。

自然数、整数、有理数、実数が定義できたところで実数列の定義を再度見直すことにする。

この数列に対し、極限というものを定義する。「これは$${n}$$が十分大きくなる時、$${a_n}$$が近づく値」として定義される。近い、遠いの概念は距離$${d(a,b) \equiv |a - b|}$$によって定義される。

さて、数列$${(a_n)}$$が限りなくある値$${a \in \mathbb{R}}$$に近づくということは、$${|a - a_n|}$$の値が限りなく$${0}$$に近づくことに等しい。実際に距離が$${0}$$になるということは、何かしら$${n \in \mathbb{N}}$$が存在して$${a_n = a}$$となることだが、この性質はそこまでは要求しておらず、あくまで限りなく$${a}$$に距離が近くできるということを言っている。

厳密に定義すると、次のようになる。

実数列に限らず、より一般的に距離空間として収束を議論するときは$${\varepsilon}$$近傍という概念が使われる。これを定義すると次のようになる。

近傍の定義を使うと、収束の概念は次のように置き換えられる。

これをもっといいかえると、$${n_0}$$を選択したら、その先のすべての$${n \in \mathbb{N}}$$については$${a_n}$$が$${\varepsilon}$$近傍に入ればよい。つまり、数列$${(a_n)}$$から有限個を取り除いたすべての$${a_n}$$が$${\varepsilon}$$近傍に入ればよいとなる。

この収束の定義の言いかえによって、次が成り立つ。

実際、$${(a_n), (b_n)}$$の中で要素が異なるような有限添字集合を$${I = \{n \in \mathbb{N}: a_n \neq b_n\}}$$としよう。これは有限集合なので、最大値$${\max I}$$が存在する。この時当然$${\mathbb{N}(\max I +1)}$$も有限集合である。$${\tilde{\mathbb{N}} \equiv \mathbb{N}-\mathbb{N}(\max I +1)}$$と置くと、任意の$${n \in \tilde{\mathbb{N}}}$$に対して$${a_n = b_n}$$である。
以上から、$${(a_n)_{n \in \mathbb{N}}}$$の収束条件と収束する際の極限は$${(a_n)_{n \in \tilde{\mathbb{N}}}}$$と等しく、ゆえに$${(b_n)_{n \in \tilde{\mathbb{N}}}}$$や$${(b_n)_{n \in \mathbb{N}}}$$とも等しい。

つまり同様にして、数列の収束条件と極限は有限個の要素の操作によって変わることはないことが示せる。