この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。

実数列の極限が定義できたので、いくつかの数列の極限例を見ていくことにしよう。

$${a_n \equiv \frac{1}{n}}$$と定義すると、$${a_0}$$のみ定義されないが、$${a_0}$$をどのように定義しても極限は変わらない。任意の$${\varepsilon \gt 0}$$に対し、自然数$${n_0}$$を$${n_0 \gt \frac{1}{\varepsilon}}$$となるように選ぶ。(このような自然数が存在することはアルキメデスの原理によって保証される。アルキメデスの原理については後々に証明する) このとき、$${n \ge n_{0}}$$なる$${n}$$に対して、次が成立する。

$$
0 \lt \frac{1}{n} \le \frac{1}{n_0} \lt \varepsilon
$$

よって、$${a_{n} \in U(0, \varepsilon)}$$となるから、$${\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0}$$。

$${x=0}$$ならば自明なので、$${0 \lt x \lt 1}$$とする。$${y = \frac{1}{x}}$$とおくと$${y \gt 1}$$となるから、$${h \gt 0}$$が存在して、$${y = 1 + \frac{1}{h}}$$と書ける。任意の$${\varepsilon \gt 0}$$に対し$${n_0 \in \mathbb{N}}$$が存在して、$${hn_0 \gt \frac{1}{\varepsilon}}$$が成り立つ。(アルキメデスの原理による) このとき、$${y^n = (1+h)^n = 1+nh+\cdots \gt nh }$$であることから、$${n \ge n_0}$$なる自然数$${n}$$に対し

$$
0 \lt x^n = \frac{1}{y^n} \lt \frac{1}{nh} \le \frac{1}{n_0h} \lt \varepsilon
$$

が成り立つ。よって$${\lim_{n\to\infty} x^n = 0}$$。

$${h \gt 0}$$なる実数$${h}$$が存在して、$${x = 1+h}$$と書けるから$${n \ge 2}$$のとき、$${x^n = 1 + nh + \frac{1}{2}n(n-1)h^2 + \cdots \gt \frac{1}{2}n(n-1)h^2}$$となる。この$${h}$$と任意の$${\varepsilon \gt 0}$$に対し、アルキメデスの原理により$${n_0h^2 \gt \frac{2}{\varepsilon} + h^2}$$なる自然数$${n_0 \ge 2}$$が存在する。この不等式を整理すると$${\frac{2}{(n_0 - 1)h^2} \lt \varepsilon}$$となる。$${n \ge n_0 \ge 2}$$なる自然数$${n}$$に対し、$${x^n}$$に関する不等式、$${n_0}$$との関係を整理すると、$${\frac{1}{x^n} \lt \frac{2}{n(n-1)h^2}}$$となることから、

$$
0 \lt \frac{n}{x^n} \lt \frac{2}{(n - 1)h^2} \le \frac{2}{(n_0 - 1)h^2} \lt \varepsilon
$$

が成立する。よって$${\lim_{n \to \infty} \frac{n}{x^n} =0}$$。