この記事は解析入門I (杉浦光夫 著)の読書ノートです。

ここからは極限の性質について議論することにする。

もし相異なる極限$${a, b}$$が存在したとしよう。このとき$${2\varepsilon = |a-b| \gt 0}$$とおく。このとき$${\varepsilon \gt 0}$$でもあるから、ある自然数$${n_0, n_1}$$が存在して$${n \ge n_0, n' \ge n_1}$$なる全ての$${n, n'}$$に対し

$$
|a - a_n| \lt \varepsilon, \ |b - a_n| \lt \varepsilon
$$

が成り立つ。そこで$${n \equiv \max\{n_0, n_1\}}$$と置いても上記は成り立つので

$$
2\varepsilon = |a - b| \le |a-a_n| + |a_n - b| \lt 2\varepsilon
$$

となり、矛盾する。

$${a \equiv \lim_{n \to \infty} a_n}$$とおく。$${\varepsilon \equiv 1 \gt 0}$$に対し、自然数$${n_0}$$が存在して、$${n \ge n_0}$$なる任意の自然数$${n}$$において

$$
|a - a_n| \lt 1
$$

が成立する。これを書き直すと

$$
\begin{array}{l}
|a - a_n| \lt 1 \\
\Leftrightarrow -1 \lt a - a_n \lt 1 \\
\Leftrightarrow a -1 \lt a_n \lt a+1
\end{array}
$$

となる。そこで$${X \equiv \{a_0, a_1, \cdots, a_{n_0}, a +1, a-1\}}$$という集合を考える。この集合は$${n_0 + 2}$$個の要素を持つ実数の有限集合なので、最小値と最大値が存在する。$${X}$$の定義の仕方によってすべての$${n}$$に対して

$$
\min X \le a_n, \ a_n \le \max X
$$

が成立する。したがって$${(a_n)}$$は有界である。