ヤングの実験

　問題はこちらです．

(1)

　光源から出た光を回折させることで，スリット $${S_1}$$ ，$${S_2}$$ に達する光を同位相同偏光にするため．

(2)

　三平方の定理より，

$$
\begin{array}{}
\overline{S_1P}&=&\sqrt{L^2+\left(x-\frac{d}{2}\right)^2}=L\sqrt{1+\left(\frac{x-d/2}{L}\right)^2}\\
\overline{S_2P}&=&\sqrt{L^2+\left(x+\frac{d}{2}\right)^2}=L\sqrt{1+\left(\frac{x+d/2}{L}\right)^2}
\end{array}
$$　

　$${a\ll 1}$$ のときに成り立つ近似式 $${\sqrt{1+\alpha^2}\approx 1+\frac{1}{2}\alpha^2}$$ を用いると，

$$
\begin{array}{}
\overline {S_1P}&=&L\left\{1+\frac{1}{2}\left(\frac{x-d/2}{L}\right)^2\right\}=L+\frac{(x-d/2)^2}{2L}\\
\overline{S_2P}&=&L\left\{1+\frac{1}{2}\left(\frac{x+d/2}{L}\right)^2\right\}=L+\frac{(x+d/2)^2}{2L}
\end{array}
$$

　光路差 $${\overline{S_2P}-\overline{S_1P}}$$ は，

$$
\begin{array}{}
\overline{S_2P}-\overline{S_1P}&=&L+\frac{(x+d/2)^2}{2L}-\left\{L+\frac{(x-d/2)^2}{2L}\right\}\\
&=&\frac{dx}{L}
\end{array}
$$

(3)

　点Pが明線となる条件は，

$${\overline{S_2P}-\overline{S_1P}=m\lambda}$$

となので，明線の位置 $${x}$$ は，

$${x=\frac{L\lambda}{d}m}$$

　明線の位置を $${x_m}$$ とおくと，干渉縞の間隔 $${\Delta x}$$ は，

$$
\begin{array}{}
\Delta x&=&x_{m+1}-x_m\\
&=&\frac{L\lambda}{d}(m+1)-\frac{L\lambda}{d}m\\
&=&\frac{L\lambda}{d}
\end{array}
$$

(4)

　$${L\rightarrow l}$$ ，$${x\rightarrow y}$$ として，(2)の結果を利用すると，

$${\overline{S_0S_2}-\overline{S_0S_1}\approx\frac{dy}{l}}$$

　$${S_0}$$ から2つのスリット $${S_1}$$ ，$${S_2}$$ を通り，スクリーンに達する光の光路差が強めあう条件は，

$$
\begin{array}{}
&&\overline{S_0S_2}+\overline{S_2P}-\left(\overline{S_0S_1}+\overline{S_1P}\right)\\
&=&\overline{S_0S_2}-\overline{S_0S_1}+\overline{S_2P}-\overline{S_1P}\\
&=&\frac{dy}{l}+\frac{dx}{L}=m\lambda
\end{array}
$$

　図2のように，明線の中心では $${m=0}$$ なので，

$$
\begin{array}{}
\frac{dy}{l}+\frac{dx}{L}&=&0\\
x&=&-\frac{L}{l}y
\end{array}
$$

　明線の中心は $${x}$$ 軸負の向きに $${\frac{L}{l}y}$$ だけずれる．

(5)

　図2より，光路差は $${\overline{S_1P}>\overline{S_2P}}$$ なので，薄膜を $${S_1}$$ に貼り付ければよい．

(6)

　$${S_1}$$ に薄膜を貼り付けたとき，図3のように，$${\overline{S_1P}}$$ は $${(n-1)t}$$ だけ増加する．

$${\overline{S_1P}=L+\frac{(x-d/2)^2}{2L}+(n-1)t}$$

　$${S_0}$$ から2つのスリット  $${S_1}$$ ，$${S_2}$$ を通り，スクリーンに達する光の光路差が強めあう条件は，

$$
\begin{array}{}
&&\overline{S_0S_2}+\overline{S_2P}-\left(\overline{S_0S_1}+\overline{S_1P}\right)\\
&=&\overline{S_0S_2}-\overline{S_0S_1}+\overline{S_2P}-\overline{S_1P}\\
&=&\frac{dy}{l}+\frac{dx}{L}-(n-1)t=m\lambda
\end{array}
$$

　原点が明線の中心になるので，$${x=0}$$ のとき $${m=0}$$ である．

$$
\begin{array}{}
\frac{dy}{l}-(n-1)t&=&0\\
(n-1)t&=&\frac{dy}{l}\\
n-1&=&\frac{dy}{lt}\\
n&=&1+\frac{dy}{lt}
\end{array}
$$