尿石症の再発予防には尿量の確保が重要ですがそもそもそれはなぜでしょうか。

尿石というのは、尿の中に溶けきれなくなり結晶化し、結晶(目に見えない)がさらに集まって結石（目に見える）となります。
砂糖（溶質）を水（溶媒）に溶かすとき、水が多ければ多い程たくさんの砂糖が溶けるのと同様に、結晶の析出を予防するには、溶媒であるここでは「尿」を増やすことが、とても有効です。

水分水分と言われるのはそのためです。

でも、実際ネコちゃんは水分をそんなに飲んでくれるものなのでしょうか。

ネコちゃんで行った実際の実験により、ドライフード（水分含有量10%）にお水をよく飲む工夫を施しても、ウェットフード（水分含有量75%）に総水分摂取量はかなわなかったという報告があります。
つまり、食べ物をミネラル類等の調整により「水をよく飲む設計にする」よりも、食べ物自体の水分含有量を多くする方が有効であるという事です。