高校数学の解説のページです．

趣味と頭の体操も兼ねています．

今回は分数式の計算についてお話します．

➀分数式の約分

分数でもそうでしたが，分数式も約分することにより，簡単にすることができます．

約分とは，分母と分子に共通の因数があるとき，$${\frac{x}{x}=1}$$として，簡単にすることです．

例

$${\displaystyle\frac{x^2-x-6}{x^2-2x-3}, (x \neq -1, 3)}$$

$${=\displaystyle\frac{(x+2)(x-3)}{(x+1)(x-3)}}$$

$${=\displaystyle\frac{x+2}{x+1}}$$

上記では，$${0}$$で割ることは定義されていないということで，$${x \neq -1, 3}$$と但し書きを設けましたが，問題文でこれをすると，ヒントを与えることになりますよね…。

実際の問題では省略しているかもしれず，その場合は暗黙の裡に$${0}$$で割ることは定義されていないと了解するべきと思います。

例

$${\displaystyle \frac{ax-b+x-ab}{ax^2-abx}}$$

$${=\displaystyle \frac{a(x-b)+(x-b)}{ax(x-b)}}$$

$${=\displaystyle \frac{(a+1)(x-b)}{ax(x-b)}}$$

$${=\displaystyle \frac{a+1}{ax}}$$

➁分数式のかけ算

分数式のかけ算では，そのまま分子同士，分母同士でかけ算をすればよいです．

例

$${ \displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2+4x+3} \times \frac{x^2+3x+2}{x^2+5x+6} }$$

$${ =\displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+3)} \times \frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)} }$$

$${ =\displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+3)} \times \frac{x+1}{x+3} }$$

$${ =\displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+3)^2} }$$

➂分数式の割り算

分数式の割り算では，割る数のほうの分子分母を入れ替えることで，かけ算にすることができます．

例えば，$${ \frac{x}{y} \div \frac{z}{w} = \frac{x}{y} \times \frac{w}{z} }$$ 

例

$${ \displaystyle \frac{x^2-x-2}{x^2-4} \div \frac{x^2+x}{x^2+2x} }$$

$${ =\displaystyle \frac{(x+1)(x-2)}{(x+2)(x-2)} \div \frac{x(x+1)}{x(x+2)} }$$

$${ =\displaystyle \frac{x+1}{x+2} \div \frac{x+1}{x+2} }$$

$${ =\displaystyle \frac{x+1}{x+2} \times \frac{x+2}{x+1} }$$

$${ =1 }$$

④分数式の足し算・引き算

分数式の足し算・引き算は，分母をそろえる「通分」を行った後で行います．

通分を行う前に各項をできるだけ簡単にしておくことで，余計な計算を省くことができます．

例

$${ \displaystyle \frac{x-2}{x^2-4} + \frac{x^2}{x-2} - \frac{x^3+x-4}{x^2-4} }$$

$${ = \displaystyle \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} + \frac{x^2}{x-2} - \frac{x^3+x-4}{(x+2)(x-2)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{x-2+x^2(x+2)-(x^3+x-4)}{(x+2)(x-2)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{x-2+x^3+2x^2-x^3-x+4}{(x+2)(x-2)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{2x^2+2}{(x+2)(x-2)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{2(x^2+1)}{(x+2)(x-2)} }$$

$${ \displaystyle \frac{2}{x^2-x} + \frac{x^2+x+1}{x^3-1} - \frac{x}{x^2-1} }$$

$${ = \displaystyle \frac{2}{x(x-1)} + \frac{x^2+x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{x}{(x+1)(x-1)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{2}{x(x-1)} + \frac{1}{x-1} - \frac{x}{(x+1)(x-1)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{2x+2}{x(x-1)(x+1)} + \frac{x^2+x}{x(x-1)(x+1)} -\frac{x^2}{x(x-1)(x+1)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{2x+2+x^2+x-x^2}{x(x-1)(x+1)} }$$

$${ = \displaystyle \frac{3x+2}{x(x-1)(x+1)} }$$

⑤終わりに

以上，分数式の計算の基本を見てきましたが，けっこう複雑で計算量も多くなりますね…．

入試の小問集合でも出題しやすいところだと思いますので，しっかり基本を押さえておきましょう．

⑥参考書紹介

私が愛読している数学の参考書をご紹介します．

長岡亮介先生の参考書です．

例題を解き進めていく中で，長岡先生が注意点や危うい箇所を説き明かしておられます．

数学で利用される論理についてのお話です．

論理的に考えることに興味のある方にお勧めします．