こんにちは！永高の中学受験部屋です。
こんにちは！と言っていますがこの記事を書き進めている時刻は深夜1時です。

実は私、平方数が好きなんですね。
大して計算も早くないのでめちゃくちゃ平方数を覚えているわけではないのですが……問題を作成する時に何故か毎回平方数を絡めてしまいます。

そんな神秘的な平方数についてちょっとだけ記事を書いてみます。

良ければこちらの算数の記事をご覧になってから本記事をご覧下さい🙏

そもそも

そもそも平方数とは「『整数の二乗』で表される非負整数」の事です。

もっと簡単にいうと

1×1=1
2×2=4
3×3=9
4×4=16
……

といったものです。

そんな平方数の最近気づいた神秘的な場所を紹介します🙋‍♂️

下2桁にご注目

まずはこの平方数の羅列をご覧下さい。

41×41=1681
42×42=1764
43×43=1849
44×44=1936
45×45=2025
46×46=2116
47×47=2209
48×48=2304
49×49=2401

41~49の平方数を並べました。

なにかお気づきでしょうか？？

そうです。下2桁にご注目ください。
下2桁が9×9~1×1の平方数になっていますね。

41×41=1681……9×9
42×42=1764……8×8
43×43=1849……7×7
44×44=1936……6×6
45×45=2025……5×5
46×46=2116……4×4
47×47=2209……3×3
48×48=2304……2×2
49×49=2401……1×1

これはきちんと証明できます。

平方数同士の差をとると絶対に奇数で、階差的に増えていきます。

また平方数と平方数の差に注目し、

〔{(n+1)× (n+1)-n×n}-1〕÷2=n

という公式が完成します。

文字式だと難しいので日本語で説明すると

整数nと整数(n+1)の平方数の差をとり、その差から1を引いて÷2をすると整数nになる

ということです！(難しくてすみません🥲)

この考えを使うと他の平方数にも応用ができます。

下2桁に注目し9×9~1×1が登場しましたが次は19×19~11×11を登場させましょう。

下3桁にご注目

19×19=361
18×18=324

より2つの平方数の差は361-324=37のように思えますがこれは間違っており、先程の羅列を見てわかるように○○○361<○○○324なので2つの平方数の差は○○○324-○○○361=963なります。

よって(963-1)÷2よりn=481と分かり、以下のような羅列になります。

481×481=231361……19×19
482×482=232324……18×18
483×483=233289……17×17
484×484=234256……16×16
485×485=235225……15×15
486×486=236196……14×14
487×487=237169……13×13
488×488=238144……12×12
489×489=239121……11×11

見事下3桁を19×19~11×11にすることが出来ました。
これは無限に広げることが出来るので あまりいないと思いますが興味がある方はこの続きも考えてみてください。

終わりに

深夜テンションで書いた記事をここまで読んでいただきありがとうございます☀️

平方数というものは同じ数をかけたものと捉えることが多いですがそれだけではなく『差』を上手く活用することで別の活路を見いだせるのでは？ということをこの記事を通して伝えたいです。

これからも永高の中学受験部屋をよろしくお願いします🙋‍♂️