Cinderellaでカオスを描く：Hop-a-Long 写像

クリヤキン

2022年6月4日 07:18

「カオスＣＧコレクション」（川上博著：サイエンス社：以下「この本」）に掲載されている，B.マルタン氏の式によるカオスです。

　　　$${x_{n+1}=y_n-sgn(x_n)\sqrt{|b x_n-c|}}$$
　　　$${y_{n+1}=- x_n+a}$$

ここで，$${sgn(x)}$$ は，$${x \geqq 0}$$ のとき１，$${x < 0}$$ のとき−１をとる関数です。「この本」には，次の例が示されています。

上の２つ(a)(b)は$${a,b,c}$$ の値が同じです。次の説明があります。

(a)では，一番内側に描いたカオスは，少し長く観察していると不安定３−周期点の不変曲線に触れて，図(b)のように発達する。

つまり，(a)は一つの初期値から形成される図ではなく，複数の初期値から形成される図を同時に表示したものです。
また，(c)(d) については，(c)は10万点，(d)は20万点の場合です。

リンク先を開くと次の画面になります。(b)の場合を初期状態としています。

回数を増やすと次のように内側に図が出てきますが，そのうち形はほとんど変わらなくなります。このツールでは10万回（点）まで表示できます。

また，初期値の赤い点を動かすと次のように変化します。この本の(1) はこのようなものを同時に表示しているわけです。

では，係数$${a,b,c}$$ の値を変えて，この本にある$${a=3.0,b=0.3,c=0.3}$$をやってみましょう。ただし，本には書かれていませんが，同じような図にするには初期値を変える必要があります。この係数のときは，初期値によって多様な変化をします。なお，図の(d)の$${a}$$の値はミスプリントでしょう。本文にあるように，同じ$${a=3}$$ の場合です。

その他，係数と初期値によっていろいろな図ができます。