$${I[y]}$$は関数$${F=F(x,y(x),y'(x))}$$の積分を含む汎関数とする。
　$${I[y]=\displaystyle\int_a^bF(x,y,y')dx}$$　(1)
$${x=a,  x=b}$$の両端の$${y(x)}$$を固定した区間内で考える。

ここで $${y(x)}$$がある関数形の時に汎関数$${I[y]}$$が停滞値（極大,極小､変曲）をとるものとし、$${y(x)}$$の関数形を少し変えても$${I[y(x)]}$$の値が変わらない関数形$${y(x)+\delta y(x)}$$を考える。
　　黒線：$${I[y]}$$が最小値をとる関数形$${y(x)}$$
　　赤線：$${I[y]}$$の値が変わらない関数形$${y(x)+\delta y(x)}$$
　　また $${\delta y(a)=\delta y(b)=0}$$　(2)
このとき$${I[y(x)+\delta y(x)]}$$と元の$${I[y(x)]}$$との差は$${\delta I[y(x)]}$$は０である。
　　　　　　（以下$${(x)}$$を省略）
　$${\delta I[y]=I[y+\delta y]-I[y]=0}$$　(3)
　$${\delta I[y]=I[y+\delta y]-I[y]}$$　← (1)を代入
　　　 $${=\displaystyle\int_a^bF(x,  y+\delta y,  y'+\delta y')dx-\displaystyle\int_a^bF(x,  y,  y')dx}$$
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\Big\{F(x,  y+\delta y,  y'+\delta y')-F(x,  y,  y')\Big\}dx}$$
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\delta F(x,y,y')dx}$$
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\Big({\dfrac{\partial F}{\partial x}\delta x}+\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y+\dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y'\Big)dx}$$
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y+\dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y'\Big)dx}$$　（$${\dfrac{\partial F}{\partial x}\delta x=0}$$､$${x}$$は変化していない ）
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y  dx+\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y'dx}$$
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y  dx+\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta\Big(\dfrac{dy}{dx}\Big)dx}$$
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y  dx+\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y'}\dfrac{d}{dx}\Big(\delta y\Big)dx}$$　（第２項を部分積分）
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y  dx+\Bigg[\dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y\Bigg]_a^b-\displaystyle\int_a^b\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)\delta y  dx}$$
　　　　　　　　　　　　（(2)$${\delta y(a)=\delta y(a)=0}$$より  $${\Bigg[\dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y\Bigg]_a^b=0}$$）
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y  dx-\displaystyle\int_a^b\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)\delta y  dx}$$
　　　 $${=\displaystyle\int_a^b\Big\{\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)\Big\}\delta y  dx}$$
(3)と併せて
　$${\delta I=\displaystyle\int_a^b\Big\{\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)\Big\}\delta y  dx=0}$$
この式が任意の$${\delta y}$$で成り立つためには
　$${\dfrac{\partial F}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)=0}$$
よって
　$${\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)-\dfrac{\partial F}{\partial y}=0}$$　（Eulerの微分方程式）(4)
この式を満たす関数$${y(x)}$$が汎関数$${I[y]=\displaystyle\int_a^bF(x,y,y')dx}$$が停滞値（極大､極小､変曲）を持つための条件である。
Lagrangeの運動方程式と同じ形だが、それについては別に考えることにする。（→ https://note.com/greedyoldman/n/nad19e5d1dbb4）
　$${\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial \mathscr{L}}{\partial y'}\Big)-\dfrac{\partial \mathscr{L}}{\partial y}=0}$$　（Lagrangeの運動方程式）

追記
$${F=F(y,  y')}$$で$${x}$$を含まないとき
$${F(y,  y')}$$の全微分は
　$${dF=\dfrac{\partial F}{\partial y}dy+\dfrac{\partial F}{\partial y'}dy'}$$
両辺÷$${dx}$$
　$${\dfrac{dF}{dx}=\dfrac{\partial F}{\partial y}\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{\partial F}{\partial y'}\dfrac{dy'}{dx}=\dfrac{\partial F}{\partial y}y'+\dfrac{\partial F}{\partial y'}\dfrac{dy'}{dx}}$$
よって
　$${\dfrac{\partial F}{\partial y}=\dfrac{1}{y'}\Big(\dfrac{dF}{dx}-\dfrac{\partial F}{\partial y'}\dfrac{dy'}{dx}\Big)}$$
これを Euler の微分方程式に代入
　$${\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)-\underline{\dfrac{\partial F}{\partial y}}=0}$$　(4)
　$${\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)-\dfrac{1}{y'}\Big(\dfrac{dF}{dx}-\dfrac{\partial F}{\partial y'}\dfrac{dy'}{dx}\Big)=0}$$
$${× y'}$$
　$${\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\Big)y'-\dfrac{dF}{dx}+\dfrac{\partial F}{\partial y'}\dfrac{dy'}{dx}=0}$$
　$${\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}  y'\Big)-\dfrac{dF}{dx}=0}$$
　$${\dfrac{d}{dx}\Big(\dfrac{\partial F}{\partial y'}  y'-F\Big)=0}$$
積分して整理すると
　$${F-y'  \dfrac{\partial F}{\partial y'}=const}$$　（Beltrami の恒等式）
が得られる。