本記事ではノイマン境界条件下の１次元拡散方程式（有限区間）の解析的な解法を示します。
（半）無限区間の拡散方程式は別記事で扱います。

※各種 偏微分方程式の解法一覧はこちら

前提知識：

• 線形代数

• 偏微分

• 常微分方程式（2階常微分方程式の解、境界条件、初期条件）

• 簡単な複素関数（$${e}$$の複素数乗）

• フーリエ級数展開

以下の偏微分方程式を解く。

$$
\frac{{{\partial}}u(x, t)}{{{\partial}}t} = {\lambda}\frac{{{\partial}^2}u(x, t)}{{{\partial}}x^2}　　（{\lambda}:定数,  0 < x < 1,  t > 0）
$$

$$
u(x, 0) = u_0(x)　　（0 < x < 1, 初期条件）
$$

$$
\left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}x}\right|_{x=0} = \left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}x}\right|_{x=1}  = 0　　（t > 0, 境界条件）
$$

※$${u(x, t) = 0}$$は自明解なので考えない。

１．変数分離

$${u(x, t) = X(x)T(t)       (X(x), T(t) \neq 0)}$$　と表すと、拡散方程式は

$$
X(x)T'(t) = {\lambda}X''(x)T(t)
$$

$$
\therefore   \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{1}{\lambda} \frac{T'(t)}{T(t)}
$$

と変形できる。
この式で、左辺の変数は$${x}$$のみ、右辺の変数は$${t}$$のみなので、等号が成り立つとき両辺は定数である。
定数を$${k}$$として

$$
\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{1}{\lambda} \frac{T'(t)}{T(t)} = k
$$

２．$${X(x)}$$を求める

$${X(x)}$$について整理すると$${X''(x) = kX(x)}$$となる。
境界条件は

$$
\left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}x}\right|_{x=0} = \left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}x}\right|_{x=1}  = 0
$$

より

$$
X'(0)T(t) = X(1)'T(t) = 0
$$

$$
\therefore  X'(0) = X'(1) = 0
$$

となる。

定数$${k}$$が0の場合とそれ以外の場合に分けてこの常微分方程式を考える。

$${(1)  k = 0}$$のとき　

$${X''(x) = 0}$$より$${X'(x) = a,   X(x) = ax+b}$$　（$${a, b}$$：定数）
境界条件を適用すると

$$
X'(0) = X'(1) = a = 0
$$

となり、$${X(x) = b}$$という定数関数となる。

$${(1)  k \neq 0}$$のとき　

$${X''(x) = kX(x)}$$の一般解は定数$${A, B}$$を用いて

$$
X(x) = Ae^{\sqrt{k}x} + Be^{-\sqrt{k}x}
$$

となる。微分したものは次のようになる。

$$
X'(x) = A\sqrt{k}e^{\sqrt{k}x} - B\sqrt{k}e^{-\sqrt{k}x}
$$

境界条件を適用すると

$$
X'(0) = A\sqrt{k} - B\sqrt{k} = 0
$$

$$
X'(1) = A\sqrt{k}e^{\sqrt{k}} - B\sqrt{k}e^{-\sqrt{k}}= 0
$$

これらを連立して解くと$${A, B}$$を得て$${X(x)}$$が求められるが、先にこの連立方程式が非自明解を持つ条件を確認する。
（非自明解を持たないとき$${X(x) = 0}$$となってしまう）
連立方程式$${A\bm{x} = \bm{0}}$$が非自明解を持つ必要十分条件は$${det(A) = 0}$$が成り立つことなので、

$$
-ke^{-\sqrt{k}} + ke^{\sqrt{k}}= 0
$$

$$
\therefore    e^{2\sqrt{k}} = 1
$$

$$
\therefore \sqrt{k} = n{\pi}i     (n  {\in}  {\mathbb{Z}})
$$

したがって$${\sqrt{k} = n{\pi}i}$$すなわち$${k = -n^2\pi^2}$$のとき連立方程式は非自明解を持つ。
$${n}$$に対応する$${A, B}$$をそれぞれ$${A_n, B_n}$$と書き、これを用いた解$${X(x)}$$を$${X_n(x)}$$と書くこととすると

$$
X_n(x) = A_ne^{n{\pi}ix} + B_ne^{-n{\pi}ix}
$$

$$
= A_n(\cos{{n{\pi}x}} + i\sin{{n{\pi}x}}) + B_n(\cos{{n{\pi}x}} - i\sin{{n{\pi}x}})
$$

$$
= (A_n + B_n)\cos{n{\pi}x} + i(A_n-B_n)\sin{n{\pi}x}    (n ≧ 1)
$$

$${A_n + B_n = C_n,    i(A_n-B_n) = D_n}$$とおくと

$$
X_n(x)= C_n\cos{n{\pi}x} + D_n\sin{n{\pi}x}    (n ≧ 1)
$$

と表せる。
ここで、$${n=0}$$のとき$${X_0(x) = C_0}$$であり、これを$${k = 0}$$のときの解$${b}$$とおく。
すると$${X_0(x) = b}$$となり、$${X_n(x)}$$がすべての解を含むように定義できた。
$${n}$$の範囲は$${n ≧ 0}$$に拡張された。

３．$${T(t)}$$を求める

$${T(t)}$$について整理すると$${T'(t) = k{\lambda}T(t)}$$となる。

$${k = 0}$$のとき、$${T(t) = c}$$（定数）となる。

$${k \neq 0}$$のとき、$${T(t)}$$の一般解は定数$${E}$$を用いて

$$
T(t) = Ee^{k{\lambda}t}
$$

と表せるので、$${X(x)}$$と同様に$${n}$$に対応する定数$${E_n}$$を用いて

$$
T_n(t) = E_ne^{-n^2\pi^2{\lambda}t}    (n ≧ 1)
$$

と表せる。

ここで$${n = 0}$$のとき$${T_0(t) = E_0}$$であり、$${k = 0}$$のときの解$${c}$$を用いて$${E_0(t) = c}$$と定める。
すると$${T_0(t) = c}$$となり、すべての解を含むように$${T_n(t)}$$を定義できた。
$${n}$$の範囲は$${n ≧ 0}$$に拡張された。

４．$${u(x, t)}$$の一般解を求める

したがって、$${X_n(x), T_n(t)}$$を用いて表す解を$${u_n(x, t)}$$と書くと

$$
u_n(x, t) = X_n(x)T_n(t)
$$

$$
= (C_n\cos{n{\pi}x} + D_n\sin{n{\pi}x})E_ne^{-n^2\pi^2{\lambda}t}
$$

$${\alpha_n = C_nE_n,   \beta_n = D_nE_n}$$とおくと

$$
u_n(x, t) = (\alpha_n\cos{n{\pi}x} + \beta_n\sin{n{\pi}x})e^{-n^2\pi^2{\lambda}t}
$$

と表せる。
この偏微分方程式は線形なので、解の線形結合も解になる。したがって

$$
\sum_{n = 0}^{\infin}u_n(x, t) = \sum_{n = 0}^{\infin}(\alpha_n\cos{n{\pi}x} + \beta_n\sin{n{\pi}x})e^{-n^2\pi^2{\lambda}t}
$$

も解である。これをこの偏微分方程式の一般解とし、$${u(x, t)}$$で表す。

$$
u(x, t) = \sum_{n = 0}^{\infin}(\alpha_n\cos{n{\pi}x} + \beta_n\sin{n{\pi}x})e^{-n^2\pi^2{\lambda}t}
$$

５．$${\alpha_n, \beta_n}$$を求める

初期条件

$$
u(x, 0) = \sum_{n = 0}^{\infin}(\alpha_n\cos{n{\pi}x} + \beta_n\sin{n{\pi}x}) = u_0(x)
$$

から$${\alpha_n}$$と$${\beta_n}$$を求める。
$${n = 0}$$と$${n ≧ 1}$$のときに分解すると

$$
\alpha_0 + \sum_{n = 1}^{\infin}(\alpha_n\cos{n{\pi}x} + \beta_n\sin{n{\pi}x}) = u_0(x)
$$

となり、これは明らかに$${u_0(x)}$$を周期1の関数とみたときのフーリエ級数展開の形である。
※ただし$${\alpha_0}$$は2倍の値。

したがって、フーリエ級数展開の公式より

$$
\alpha_0 = \frac{1}{2}\int^1_{-1} u_0(x)\,dx
$$

$$
\alpha_n = \int^1_{-1} u_0(x) \cos{n{\pi}x}\,dx    (n ≧ 1)
$$

$$
\beta_n = \int^1_{-1} u_0(x) \sin{n{\pi}x}\,dx    (n ≧ 1)
$$

以上により、解は次のようになる。

$$
u(x, t) = \sum_{n = 0}^{\infin}(\alpha_n\cos{n{\pi}x} + \beta_n\sin{n{\pi}x})e^{-n^2\pi^2{\lambda}t}
$$

$$
\alpha_0 = \frac{1}{2}\int^1_{-1} u_0(x)\,dx
$$

$$
\alpha_n = \int^1_{-1} u_0(x) \cos{n{\pi}x}\,dx    (n ≧ 1)
$$

$$
\beta_n = \int^1_{-1} u_0(x) \sin{n{\pi}x}\,dx    (n ≧ 1)
$$