本記事では１次元波動方程式（定在波）の解析的な解法を示します。
（半）無限区間の波動方程式は別記事で扱います。

※各種 偏微分方程式の解法一覧はこちら

前提知識：

• 線形代数

• 偏微分

• 常微分方程式（2階常微分方程式の解、境界条件、初期条件）

• 簡単な複素関数（$${e}$$の複素数乗）

• 三角関数の直交性（記事内でも簡単に解説します）

以下の偏微分方程式を解く。

$$
\frac{{{\partial}^2}u(x, t)}{{{\partial}}t^2} = {c^{2}}\frac{{{\partial}^2}u(x, t)}{{{\partial}}x^2}　　（c:定数,  0 < x < 1,  t > 0）
$$

$$
u(x, 0) = u_0(x)　　（0 < x < 1, 初期条件）
$$

$$
\left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}t}\right|_{t=0} = v_0(x)　　（0 < x < 1, 初期条件）
$$

$$
u(0,t) = u(1, t) = 0　　（t > 0, 境界条件）
$$

※$${u(x, t) = 0}$$は自明解なので考えない。

１．変数分離

$${u(x, t) = X(x)T(t)       (X(x), T(t) \neq 0)}$$　と表すと、波動方程式は

$$
X(x)T''(t) = c^2X''(x)T(t)
$$

$$
\therefore   \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)}
$$

と変形できる。
この式で、左辺の変数は$${x}$$のみ、右辺の変数は$${t}$$のみなので、等号が成り立つとき両辺は定数である。
定数を$${k}$$として

$$
\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{1}{c^2} \frac{T''(t)}{T(t)} = k
$$

２．$${X(x)}$$を求める

$${X(x)}$$について整理すると$${X''(x) = kX(x)}$$となる。
境界条件は

$$
u(0,t) = u(1, t) = 0
$$

より

$$
X(0)T(t) = X(1)T(t) = 0
$$

$$
\therefore  X(0) = X(1) = 0
$$

となる。

定数$${k}$$が0の場合とそれ以外の場合に分けてこの常微分方程式を考える。

$${(1)  k = 0}$$のとき　

$${X''(x) = 0}$$より$${X(x) = ax+b}$$　（$${a,b}$$は定数）
境界条件を適用すると

$$
X(0) = b = 0
$$

$$
X(1) =a + b = 0
$$

これらを連立して解くと$${a = b = 0}$$となり$${X(x) = 0}$$を得る。
したがって$${k = 0}$$は不適。

$${(1)  k \neq 0}$$のとき　

$${X''(x) = kX(x)}$$の一般解は定数$${A, B}$$を用いて

$$
X(x) = Ae^{\sqrt{k}x} + Be^{-\sqrt{k}x}
$$

となる。境界条件を適用すると

$$
X(0) = A + B = 0
$$

$$
X(1) = Ae^{\sqrt{k}} + Be^{-\sqrt{k}} = 0
$$

これらを連立して解くと$${A, B}$$を得て$${X(x)}$$が求められるが、先にこの連立方程式が非自明解を持つ条件を確認する。
（非自明解を持たないとき$${X(x) = 0}$$となってしまう）
連立方程式$${A\bm{x} = \bm{0}}$$が非自明解を持つ必要十分条件は$${det(A) = 0}$$が成り立つことなので、

$$
e^{-\sqrt{k}}-e^{\sqrt{k}} = 0
$$

$$
\therefore    e^{2\sqrt{k}} = 1
$$

$$
\therefore \sqrt{k} = n{\pi}i     (n  {\in}  {\mathbb{Z}})
$$

したがって$${\sqrt{k} = n{\pi}i}$$のとき連立方程式は非自明解を持つ。
$${n}$$に対応する$${A, B}$$をそれぞれ$${A_n, B_n}$$と書き、これを用いた解$${X(x)}$$を$${X_n(x)}$$と書くこととすると

$$
X_n(x) = A_ne^{n{\pi}ix} + B_ne^{-n{\pi}ix}
$$

$$
= A_n(\cos{{n{\pi}x}} + i\sin{{n{\pi}x}}) + B_n(\cos{{n{\pi}x}} - i\sin{{n{\pi}x}})
$$

$$
= (A_n + B_n)\cos{n{\pi}x} + i(A_n-B_n)\sin{n{\pi}x}
$$

境界条件$${A_n + B_n = 0}$$より、$${i(A_n-B_n) = C_n}$$とおいて

$$
X_n(x) = C_n \sin{n{\pi}x}
$$

３．$${T(t)}$$を求める

$${T(t)}$$について整理すると$${T''(t) = kc^2T(t)}$$となる。
$${T(t)}$$の一般解は定数$${D, E}$$を用いて

$$
T(t) = De^{\sqrt{k}ct} + Ee^{-\sqrt{k}ct}
$$

と表せるので、$${X(x)}$$と同様に$${n}$$に対応する定数$${D_n, E_n}$$を用いて

$$
T_n(t) = D_ne^{cn{\pi}it} + E_ne^{-cn{\pi}it}
$$

$$
= D_n(\cos{{cn{\pi}t}} + i\sin{{cn{\pi}t}}) + E_n(\cos{{cn{\pi}t}} - i\sin{{cn{\pi}t}})
$$

$$
= (D_n + E_n)\cos{cn{\pi}t} + i(D_n-E_n)\sin{cn{\pi}t}
$$

$${i(D_n + E_n) = F_n}$$、$${i(D_n - E_n) = G_n}$$とおいて

$$
T_n(t) = F_n\cos{cn{\pi}t} + G_n\sin{cn{\pi}t}
$$

４．$${u(x, t)}$$の一般解を求める

したがって、$${X_n(x), T_n(t)}$$を用いて表す解を$${u_n(x, t)}$$と書くと

$$
u_n(x, t) = X_n(x)T_n(t)
$$

$$
=  C_n \sin{n{\pi}x}(F_n\cos{cn{\pi}t} + G_n\sin{cn{\pi}t})
$$

$${\alpha_n = C_nF_n,  \beta_n = C_nG_n}$$とおくと

$$
u_n(x, t) = \sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$

と表せる。
この偏微分方程式は線形なので、解の線形結合も解になる。したがって

$$
\sum_{n = 1}^{\infin}u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infin}\sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$

も解である。これをこの偏微分方程式の一般解とし、$${u(x, t)}$$で表す。

$$
u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infin}\sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$

次の工程のために、これを$${t}$$で偏微分したものも求めておく。

$$
\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}t} = \sum_{n = 1}^{\infin}cn{\pi}\sin{n{\pi}x}(-\alpha_n\sin{cn{\pi}t} + \beta_n\cos{cn{\pi}t})
$$

５．$${\alpha_n, \beta_n}$$を求める

初期条件

$$
u(x, 0) = \sum_{n = 1}^{\infin}\alpha_n\sin{n{\pi}x} = u_0(x)
$$

から$${\alpha_n}$$を求める。
両辺（中央と右）に$${\sin{m{\pi}x}    (m  \in  \mathbb{N})}$$をかけると

$$
\sum_{n = 1}^{\infin}\alpha_n\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x} = u_0(x)\sin{m{\pi}x}
$$

となり、両辺を0から1まで$${x}$$について積分する。
三角関数の直交性（以下）により

$$
\int_0^1\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x}\,dx = \frac{\delta_{n,m}}{2}
$$

※$${\delta_{n,m}}$$はディラックのデルタ関数。
これを三角関数の直交性という。詳しくは「直交関数系」などで検索。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E4%BA%A4%E9%96%A2%E6%95%B0%E5%88%97

$$
\int_0^1u_0(x)\sin{m{\pi}x}\,dx = \int_0^1\sum_{n = 1}^{\infin}\alpha_n\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x}\,dx = \frac{\alpha_m}{2}
$$

※$${n}$$は全ての自然数を順にとるので、必ず$${n = m}$$となる瞬間がある。このときに限り積分は$${{\alpha_m}/{2}}$$の値をとり、他では0となる。

よって、$${n}$$と$${m}$$を置き換えれば

$$
\alpha_n = 2\int_0^1u_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$

というように$${\alpha_n}$$が求められた。

全く同様に$${\beta_n}$$も求める。

$$
\left.\frac{{\partial}u(x, t)}{{\partial}t}\right|_{t=0} = \sum_{n = 1}^{\infin}\beta_{n}cn{\pi}\sin{n{\pi}x} = v_0(x)
$$

上式の両辺（中央と右）に$${\sin{m{\pi}x}    (m  \in  \mathbb{N})}$$をかけて0から1まで$${x}$$について積分すると

$$
\int_0^1v_0(x)\sin{m{\pi}x}\,dx = \int_0^1\sum_{n = 1}^{\infin}\beta_n{c}n{\pi}\sin{n{\pi}x}\sin{m{\pi}x}\,dx = \frac{\beta_m{c}m{\pi}}{2}
$$

$$
\therefore  \beta_n = \frac{2}{cn{\pi}}\int_0^1v_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$

以上により、解は次のようになる。

$$
u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infin}\sin{n{\pi}x}(\alpha_n\cos{cn{\pi}t} + \beta_n\sin{cn{\pi}t})
$$

$$
\alpha_n = 2\int_0^1u_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$

$$
\beta_n = \frac{2}{cn{\pi}}\int_0^1v_0(x)\sin{n{\pi}x}\,dx
$$