（2019/11/27差し替え）

（※注：「理系に進学したいが数学が苦手な知人の高校生に、数学の良さを教える」というミッションのための草稿を、あらかじめWebに掲載して、ダメなところを指摘してもらおう、という趣旨の記事です）

（2022/5/26追記）
このB_1の記事はことさら使用に堪えません。何もかもデタラメの恥ずべき記事です。今では集合論と論理学と圏論の順序がおかしいと思います。論点先取をやっている疑いが極めて強い。とはいえもう納品してしまったので（そしてこの高校生は今は国立大学に見事合格してしまったので）今更しょうがないんですよね…困ったな。

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★写像から順序数まで

・（ここからかなり細かい話が続くので、この項目も飛ばしてもらって結構です。）
・さて、大小関係を持つものとして、自然数の他に、順序数というものを考えます。（名前からいかにも順序関係がありそうですね。）
順序数とは自然数から順序的構造だけを取り出したものと考えてもらって結構です。逆に、順序数にある種の代数的構造を追加すると、自然数になる、というのが、より正確な言い方になります。
 
・さて、A本編で、「順序数の作り方は、空箱（空集合）をマトリョーシカみたいにして作る」という話をしました。
ですが、これが成り立つためには、「空集合を、最も原始的な数を作るための最初の何らかの素材、0と同一視すること」と「先の数を入れて後の数を出力すること」が必要になります。
これらによって初めて、数と呼べるものの最初の在り方、順序数が出来ます。
 
・後者の関数、すなわち「先の数を入れて後の数を出力すること」を、なんと後者関数（こうしゃかんすう）と言います。絶対冗談だと思うでしょうが本当です。（何も考えずに書いていたら、偶然こうなってしまいました。）
後者関数は、大学数学レベルの関数です。特に、数を入れたら数が出て来るタイプの関数ですね。この説明は実はズルになるのですが、足し算でいうと+1と同じ意味になります。（本当は後者関数から足し算を作ります。面倒なので詳しくは説明しません。）
ただし、個人的には、後者関数を後者「関数」と呼んでいいタイミングと、そう呼ぶとズルになるタイミングがあると思っています。それまでは、これは実は写像としてしか機能していません。（それについては後で説明します。）
ちなみに後者関数は今まで書いてきたZFC公理系の応用で作れます。（こっちは面倒なので説明しません。）
 
・さて、ここからよく分からない話になっていきます。
前者、すなわち「空集合を、最も原始的な数を作るための最初の何らかの素材、0と同一視すること」というのは、数じゃないものを、0に見立てるという不思議な写像です。特に名前はありません。（あるかも知れないのですが、残念ながら□□（犬神工房）は知りません。）
・「写像ではなくて、大学数学レベルの関数と言ってよいのでは？　だって出力されるのは0なのでは？　じゃあ数を出力しているということではないか？」という気持ちに一瞬なりますが、ここであえて歯に物の挟まったような言い方をします。
 
・なぜかというと、0と呼ばれる謎の何かが、数であることを保証されているのは、それが最も原始的な数、順序数の最小の元だからです。
じゃあ順序数とは何かというと、0から後者関数で元を増やしていった集合のことです。
どうもグルグルと説明がループしているような気がする。良くないですね。
・0は、他の順序数とは違い、何か特別なものだと考えた方が良さそうだ。
しかも、最初の時点では、これは順序数ですらない。他の元はまだ作ってないんだから、この時点で順序数として扱うのは、ズルです。
　つまり、他の元がない、比較できない場合、0は、数であることを保証されないのです。この場合、0は、数ではない。（そう考えると、0、だいぶ薄気味悪いですね。）

★順序数から大学数学レベルの関数まで

・じゃあどう考えるべきか？
　0は、数ではない。だから、あえて、最も原始的な数を作るための最初の何らかの素材、として扱います。（歯に物の挟まったような言い方ですね。）
・最初の写像で、空集合を入力して何らかの素材を出力する。出力されるものは、何らかの素材であって、数としての資格をまだ満たしていないので、まだこの写像は関数とは呼べない。写像でしかない。
・次に、何らかの素材0を入力して、何らかの素材1を出力する写像がある。出力された1は0と比較可能なものである。出力されて比較可能になった後で、何らかの素材0と何らかの素材1は、順序数、数としての資格を初めて手に入れたことになる。
・順序数1を入力したら順序数2が出て来る。ここからはこの写像を後者「関数」と呼んでも何も問題はなくなる。
 
・「えっ、空集合から0を作る写像と、0から1を作る写像、これは大学数学レベルの関数ではないのか？」
　これらはまだ、関数ではない、と見なした方が、筋は通る、と□□は思います。
「特に後者は後者関数と同じものなんだから、同じなのでは？」
　そうなんですけど、そう名乗っていい段階があり、それは順序数と間違いなく呼べるような1が出力された、その後だと思うんですよ。何らかの素材0を入力して、何らかの素材1を出力したところまでは、後者関数は、本当は写像としての役割しか果たしていない。
最初から0や1を数と見なしてしまうというのは完全に便利ではあるが、筋は通っていない。
全くこだわるべきところではありませんが、テクニック的には「これらの写像で作ったものは、このようにして初めて順序数になるのであり、それ以降はこの写像のことを大学数学レベルの関数として扱っても何の問題もなくなる」という話になります。
（普通の場合、順序数は既に出来上がったものとして扱うので、写像と順序数と大学レベルの関数の微妙な関係なんか、余計なことだとスッパリ忘れた方が便利なくらいです。）
 
・ちなみに、もう一個面倒くさい話をします。
ZFC公理系の中で、まだ説明していなかった「選択公理」は、順序数への応用があります。
具体的には、選択公理の応用によって、普通の集合と順序数が対応付けられるようになります。
これのおかげで、普通の集合は全て、中の元に順序数をラベルのように貼り付けてよいことになりますし、集合の中の元の個数を数えられるようにもなるという寸法です。
（逆に、選択公理を使うまでは、集合の元の個数を数えるというのは、実はズルだったのです。厳密なことを言うとこうなるのですが、面倒くさいですね。）
・ということで、この教材の中でも特に面倒くさい話題でしたが、ここで終わりにします。
（この先はもう少し手短な話題になっていればいいなと思います。）