前回の2の記事で考察不足な部分があったので，それについて説明します．

ブール環っぽいものから一意的に決まる順序

命題1.7で，積が冪等ならば順序が一意的に定まることが証明されました．再掲します．

$${A}$$は集合で，$${e}$$はその元，$${\ast}$$は2項演算子で次の条件をみたすとする．

$$
a\ast a=a,\quad a\ast b=b\ast a, \quad a\ast(b\ast c)=(a\ast b)\ast c, \quad a\ast e=a.
$$

そのとき，$${A}$$上の順序$${\le}$$が一意的に決まり，$${A}$$は半束で$${\ast=\lor, e=0}$$である．

$${a\le b\iff a\ast b=b}$$とすれば順序が定まるのはOKですが，これが一意的かという点で前回の私の説明は間違っていました．これ以外に順序が入らないことをきちんと言えてないですね．正しい説明を考察します．

あり得る等式は何か

$${a\le b\iff ?}$$
この右側の?に入る可能性があるものは何か考えてみます．今は$${\ast}$$という2項演算子と，$${e}$$という0項演算子（=定数）をもつ集合$${A}$$で，$${a, b}$$の大小を定めようとしています．したがって，使える記号は$${\ast, e, a, b}$$と変数$${x, y,\dots}$$などであると考えられます．

しかも可換性と冪等性より，どんな項も$${a^i\ast b^j\ast x_1^{k_1}\ast\cdots\ast x_n^{k_n}}$$という形に書き直すことができます．ここで$${i,j,k}$$は0か1を表し，$${a^0=b^0=x^0=e}$$と定めます．つまり，どんな項も可換性によって$${a,b,x}$$の順に並べることができるし，冪等性より$${a=a\ast a=a\ast a\ast a=\cdots}$$なので，$${a}$$などの指数は0か1しかないこととなります．以降，積記号$${\ast}$$は省略します．

ゆえに，上の?に入る式は$${a^ib^jx_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}=a^{i'}b^{j'}y_1^{k'_1}\cdots y_m^{k'_m}}$$となります．変数$${x,y}$$の部分は，「任意の$${x}$$に対して」か「ある$${x}$$が存在して」と理解すればよいですが，大変なので今は変数なしの場合$${a^ib^j=a^{i'}b^{j'}}$$だけを考えることとします．

(i,j,i',j')=(0,0,0,0)のとき

$${e=e}$$です．

常に成り立つので，集合$${A}$$のすべての元の間に$${\le}$$の関係があることとなり，$${a\le b}$$かつ$${b\le a}$$，すなわち$${a=b}$$となって，すべての元が等しいこととなります．つまり$${A}$$は元$${e}$$しかもたないということです．

$${A}$$は元が一個とは限らないので，このケースは適切でないわけです．

(i,j,i',j')=(1,0,0,0)のとき

$${a=e}$$となるケースです．

順序の条件を改めて書くと，$${a\le b\iff a=e}$$となるわけで，$${c\ne e}$$なる$${c}$$に対して$${c\le c}$$が成り立たない，すなわち反射律が成り立たないので順序が入れられません．よって不適切となります．

(i,j,i',j')=(1,1,0,0)のとき

$${ab=e}$$のケースです．

もしもこれで順序を定められるなら，可換性より$${a\le b, b\le a}$$が得られ，反対称性より$${a=b}$$です．上の式を用いると$${aa=e}$$，すなわち$${a=e}$$．$${e}$$のみ自分自身と比較可能な順序集合（？）が得られ，トリビアルなものなので除外すべきでしょう．

(i,j,i',j')=(1,1,0,1)のとき

これは前回のnoteで示された$${a\le b\iff a\ast b=b}$$の場合で，順序を定められます．

(i,j,i',j')=(1,1,1,0)のとき

これは(1,1,0,1)で得られた順序のoppositeが得られます．

(i,j,i',j')=(1,1,1,1)のとき

(0,0,0,0)と同じ結果が得られます．

変数があるときは？

変数$${x,y}$$は除外してしまいましたが，これも含めて考察するとどうなるでしょうか．私は分かりません．誰か分かる方，よろしくお願いします．というか，もっと根本的に解決する方法があるのでしょうかね？

まとめ

前回の一意性の説明に不備があったので訂正しましたが，完全には説明しきれませんでした．今後，分かったら改めて報告します．
（つづく）