階差数列のやつに対する疑問

数列の一般項を求める問題で，階差数列による手法を使うものがあります．
その際，まず$${n\ge 2}$$で一般項を求め，最後に$${n=1}$$のときにも成り立つことを確認し，解答が終了します．次のページをご参照ください．

階差数列の意味と、もとの数列の一般項を求める方法

しかし，普通に生きていて出会う練習問題は，$${n\ge 2}$$で求めた一般項が$${n=1}$$のときも成り立つものばかりなので，何のための場合分けなんだろうかと疑問に思わなくもないです．ぶっちゃけ，わざわざ書いて確認するのは面倒臭いです．ところが，実際に場合分けが必要になるものもあるようです．次のページをご参照ください．

数列１１　階差数列，n＝1のときは必ず成り立つか？

どうしてほとんどの場合，$${n\ge 2}$$で求めたものが$${n=1}$$でも成り立つのか，そして，そうならない例はどんなものがあるのか，考えてみたいと思います．

階差数列を思い出す

まず上記の1個目の参照ページの最初の数列を題材にして，思い出しをしてみます．

問．次の数列の一般項$${\{a_n\}}$$を求めよ．

$${1\quad 2\quad 5\quad 10\quad 17\quad 26\quad\cdots}$$

解答．この数列の階差数列$${\{b_n\}}$$は

$${1\quad 3\quad 5\quad 7\quad 9\quad\cdots}$$

である．よって，$${b_n=1+(n-1)\cdot 2=2n-1}$$である．

ゆえに，$${n\ge 2}$$のとき，

$${a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k}$$
$${=1+\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)}$$
$${=1+\frac{1}{2}(n-1)\{2\cdot 1+(n-2)\cdot2\}}$$
$${=1+\frac{1}{2}(n-1)(2n-2)}$$
$${=1+(n-1)^2}$$
$${=n^2-2n+2\quad ①}$$

この$${n^2-2n+2}$$に$${n=1}$$を代入すると$${1^2-2\cdot 1+2=1}$$であり，$${a_1=1}$$と合う．よって，①は$${n=1}$$のときも成り立つ．

したがって，$${a_n=n^2-2n+2}$$　（解答終）

n=1で成り立つのはどんな時か

上記の問は典型的な階差数列によるものでした．
普通に$${n\ge 2}$$で一般項を求めてから，$${n=1}$$で確認をしました．
ちゃんと成り立っていたのは良かったです．

しかし，よく見ると，①の1行上の式で，$${1+(n-1)^2}$$となって$${n-1}$$という因子が出てきており，この時点で$${n=1}$$のとき成り立つことは明白です．

ここでそうかと気付きます．
$${\sum_{k=1}^{n-1}b_k}$$を計算した結果が$${n-1}$$の因子を持てば，$${n=1}$$のときも一般項の式が成り立つようです．
どんな数列$${b_n}$$ならそのようになるかを考えてみます．

等差数列の場合

$${b_n=b_1+(n-1)\cdot d}$$ならば，
$${\sum_{k=1}^{n-1}b_k=\frac{1}{2}(n-1)(b_1+b_{n-1})}$$であり，$${n-1}$$の因子を持つのでOKです．

等比数列の場合

$${b_n=b_1r^{n-1}}$$ならば，
$${\sum_{k=1}^{n-1}b_k=\frac{b_1(r^{n-1}-1)}{r-1}}$$であり，$${n=1}$$で$${右辺 =0}$$になる（$${n-1}$$の因子を持つ）のでOKです．

l乗の場合

$${b_n=n^l}$$という形のとき：
・$${l=1}$$：
　$${\sum_{k=1}^{n-1}b_k=\sum_{k=1}^{n-1}k^1=\frac{1}{2}n(n-1)}$$　OK

・$${l=2}$$：
　$${\sum_{k=1}^{n-1}b_k=\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)}$$　OK

・$${l}$$が一般の場合も同様にOK．
　（例えば$${(n+1)^{l+1}-n^{l+1}=(l+1)n^l+\sum_{k=2}^{l+1}({l+1 \atop k})n^{l+1-k}}$$を使えばよい．）

・$${b_n=\sum_{l=0}^{m}c_ln^l\quad (c_lは定数)}$$という形のときもOK

対数の場合

$${b_n=\log n}$$なら，$${\sum_{k=1}^{n-1}b_k=\sum_{k=1}^{n-1}\log k=\log (n-1)!}$$であり，$${n=1}$$で$${右辺 =0}$$となるのでOKです
（$${0!=1}$$に注意）．

三角関数の場合

$${b_n=\sin^n\theta}$$でもいけそうです．
（$${\sum \sin^k\theta}$$を求めるのに$${\sum e^{ik\theta}}$$を使って$${l}$$乗の場合に帰着できる）

よく考えたら

性質の良い関数はテイラー展開できるので$${l}$$乗の場合に帰着できそうです．

n=1で成り立たない例

変な関数形なら成り立たなくなりそうです．
例えば，$${b_n=|n-2|}$$のとき，
$${\sum_{k=1}^{n-1}b_k=\sum_{k=1}^{n-1}|k-2|=\sum_{k=1}^{n-1}(k-2)+2}$$
なので，余分に出てくる2の分だけ合わなそうです．

実際，$${b_n=|n-2|}$$：　$${|-1|=1\quad 0\quad 1\quad 2\quad\cdots}$$

$${a_1=1}$$とすると，
　　　$${a_n}$$：　$${1\quad 2\quad 2\quad 3\quad\cdots}$$
$${n\ge 2}$$として求まる一般項は，
$${a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}(k-2)+2}$$
$${=1+\frac{1}{2}n(n-1)-2(n-1)+2}$$
この最後の式に$${n=1}$$を代入すると$${1+2=3}$$となって$${a_1=1}$$と合わない．
（2022年10月8日，この部分の式の誤り訂正）

おわりに

ちょっと考えたら，高校数学の数列で現れる形の階差数列ならたいてい$${n=1}$$でも成り立ちそうでした．
成り立たない例は考えればいろいろありそうです．（おわり）