この記事では、第２章の解説を補足します。

「知りえない」けど「決まっている」んじゃないの！?

量子力学を学び始めた方で、「重ね合わせ」の説明を聞いて、
１つの粒子が、１度に異なる運動量とかの値をもてるわけがない
＝「知りえない」けど「決まっている」
と思ってられる方は多いのでは、ありませんか？
しかし、「知りえない」けど「決まっている」場合は、
「混合状態」といい、
これと「純粋状態」では、１つの物理量を測定しただけでは
区別がつきませんが、別の物理量を測定した場合、違いがでてきます。

「箱の中の粒子」の場合、運動量が値P、－Pをとる確率は、「純粋状態」でも「混合状態」でも５０％づつですが、
この時、位置ｘも測定すると（同じ状態のアンサンブルを用意する）
「純粋状態」では、ｘの測定値の分布は、教科書のψ＊ψ（Sinの２乗)。
つまり、位置の測定値の分布に山や谷がある。
（アンサンブルで考えると、測定値をプロットしていくと山や谷が現れる）しかし、どちらか一方にだけ（＋Pか－Pに応じた状態に）決まっていて
「知りえない」だけの場合なら、
ψ(x)は　exp(-Px/ih')　か　exp(＋Px/ih')　のどちらか１つ。
どちらにせよ、この場合のｘの測定値の分布＝ψ＊ψは、一定値！
つまり、測定値の分布は、位置によらず、一定
（アンサンブルで考えると、位置によらずランダム－明確な山や谷はない）∴　「決まっている」としたものでは、測定結果が合わない！

隠れた変数を演算子とした理論は量子力学ではないのか？

違います。
隠れた変数が演算子なら、その固有ベクトルの張る空間が存在し、
その状態は、それらの固有ベクトルの和ですから、
状態が「重ね合わせ」になっている　とは言えます。
しかし、実在論である限り、相反する固有状態が同時に現れては
おかしいです。
例えば、１つの粒子が「位置x1 に居る状態」と「位置x2 に居る状態」が
式に同時に現れたら、どっちが本当だ？　ということになります。
量子力学で、状態の「重ね合わせ」が、a|x1> + b|x2> と書ける場合を
「隠れた変数を演算子とした(局所)実在論」と比較してみます。

この状態を密度行列で書くと　( a|x1> + b|x2> )( a<x1| + b<x2| )
＝a^2|x1<>x1| + b^2|x2><x2| + ab( |X1><x2|+|x2><x1| )
となり、( |X1><x2|+|x2><x1| )が干渉項です。
古典論では、a=0 or b=0 で、状態の「重ね合わせ」はない。
隠れた変数を演算子とした(局所)実在論では、
測定器に入る直前には、相反する固有状態が同時には存在しないとする
ので、干渉項( |X1><x2|+|x2><x1| )が無くなっています。
（したがって、量子もつれ対の相関測定ならベルの不等式は－２～２の間）
これは、混合状態ではあるが、確率分布は干渉項がある純粋状態と同じ。
つまり、量子もつれでない場合(１個の粒子の測定)、この物理量の確率分布
については、量子力学と同じになるので、隠れた変数理論でも正しいです。
（混合状態なので、他の物理量の確率分布は、量子力学とは異なる）
量子力学では、この物理量の場合、干渉項が存在する純粋状態となり、
量子もつれ対の相関測定なら、ベルの不等式は－2√2～2√2 の間です。

波動関数とシュレーディンガ方程式の関係

古い教科書では、波動関数の定義が曖昧で、シュレーディンガ方程式の解
のこと のように取れるものがありますが、正しくは、
物理量をｑとする、ｑ表示の 波動関数ψ(q)の定義は、状態を |ψ>とすると
｜ψ>の「物理量ｑの固有空間｛|q>｝」への射影：
ψ(q)|q> = |q><q｜ψ>
です。
そして、その時間発展がシュレーディンガ方程式　に従う
というだけのことです。
したがって、シュレーディンガ方程式に依存しない関係、
一般に、ハミルトニアンや時間発展に依存しない関係（定理）
が、波動関数や状態ベクトルには、あります。

ハミルトニアンや時間発展に依存しない関係や定理

例えば、
・ｐがｑの正準共役量であれば、ψ(p)=ψ(q)のフーリエ変換
・コピー禁止定理
・状況依存性定理
がそうです。
また、時間発展を記述するシュレーディンガー方程式は、
ガリレイ変換であり、相対論を満たしませんが、
量子力学での「ハミルトニアンや時間発展に関係しない部分」
は、相対論を満たす＝相対論で議論できる
と考えてよいです。
なので、EPR論文やベルの不等式が議論できるわけです。

混合状態の純粋化

混合状態は、一般に　そのヒルベルト空間（完備な内積空間）を
大きくとることで、純粋状態にできます。
https://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2020/07/04/200342