有名なパラドックスだと思うのだが、知らない人が見るとわりとびっくりしてくれる。

任意の三角形ABCを考える。
頂点Aの角の二等分線と、底辺BCの垂直二等分線の交点をOとする。

Oから各辺におろした垂線の足をP,Q,Rとし、またOからB、Cにも線を引く。

まず、垂直二等分線の定義から、あきらかに三角形OBRとOCRは合同である。したがって、OBとOCは等しい。また、三角形APOとAQOについても、辺AOを共有し、はさむ角度が等しいので、二角挟辺で合同である。したがって対応する辺であるAPとAQ、OPとOQの長さはそれぞれ等しい。

三角形OPB、OQCについて、OPとOQが等しく、OBとOCが等しいので、直角三角形の合同条件よりこの二つは合同。したがって対応する辺である PBとQCの長さは等しい。 AP=AQ、PB=QCがわかったので、AB=ACである。 この証明は三角形の種類によらないので、全ての三角形は二等辺三角形であることが証明された (証明終)。

この証明、学生さんとかに実際に作図させてみると「おー」となる。