昨年12月17日のZEN大学（仮称）（設置認可申請中）・株式会社ゲンロン共同新公開講座第4弾・加藤文元×川上量生×東浩紀「真理とはなにか──数学とアルゴリズムから見た『訂正可能性の哲学』」

では、東さんの『訂正可能性の哲学』を巡って多くのことを議論し、大変有意義な時間でした。

この鼎談は6時間以上にも及ぶ長いものでしたが、その中でももっともホットだった話題の一つに「数学の正しさは絶対的か」という感じの議論がありました。特に、東さんは私に「他の星から宇宙人がやってきたとして、彼らの数学が（我々の数学と）同じだと思いますか？」と問いましたが、それに対して私は「そうは思いません」と言ったところから、いろいろ議論が膨らんでいきました。

宇宙人の数学が我々の数学と同じである必然性はないという私の意見については、すでにnoteにも書いたことがあります。

ここにも書いたように、もちろん、初等的かつ基本的でレベルでは、彼ら（＝宇宙人）の数学と我々の数学との間にも共通部分は多いだろうと思います。実際、それなりに自然だと思われる思考実験によれば、どんな知的生命体も素数の概念●●●●●は共通して持っているだろうし、さらに言えば、あくまでも初等的なレベルに制限すれば数の理論●●●●についても共通している部分は多いだろうと思われるわけです。

しかし、これらよりも大幅に概念的な複雑度が増した対象や理論の場合はどうか？例えば、$${1=0.999999\cdots}$$などは実数論の（高級な）事実ですが、この場合はどうでしょうか？地球外生命体にとっても、これは正しい数学の事実でしょうか？それともこれは何らかの意味で人間固有の考え方や認識の様式に依存している正しさなのでしょうか？

このようなことを、上のnote記事では書きました。ここでは、これを踏まえて、「数学はどのような意味で普遍的か？」「数学の正しさは絶対的か？」といった根本的な問いについて、さらに解像度の高い議論をしてみたいと思います。

問題の意味

その前にまず、冒頭の東さんのやりとりをもう少し述べて、問題の本質が何なのか検討してみたいと思います。

このやりとりを聞いていた人の中にも、そして当事者だった東さんや川上さんもそう思った可能性は高いですが、このやりとりは、少々チグハグ●●●●です。それは東さんが私に訊きたいことと、私が答えていることのモードや内容や文脈が、うまく噛み合っていないことに起因しています。要するに、東さんの論点と私の論点が正確には一致していないわけです。

私は東さんの質問に答える側だったわけですから、東さんの論点をしっかり理解して、それに応じた答えをするべきでした。その反省も込めて、その論点の違いをもう少し詳しく、私なりの理解で噛み砕きたいと思います。

まず、「数学の普遍性」というとき、大きく分けて二つの意味があると思います。

1の論点における普遍性を、以下では「正しさの普遍性」と呼び、2の論点における普遍性は「対象・現象の普遍性」と呼ぶことにしましょう。

「正しさの普遍性」と「対象・現象の普遍性」の間には、特に論理的な含意関係はないと思います。両者は基本的には独立の問題です。正しさが普遍的だからと言って、どのような対象を自然と思い、どのように現象を切り取るかということまで普遍的だとは言えません。もちろん、逆もまた然りです。

そして数学における「対象・現象の普遍性」を、私が全然信じていないことは、上に挙げたnote記事『宇宙人の数学は我々の数学と同じか？』で述べた通りです。そこでの論旨の骨子は、要するに数学における対象や現象に対する視点の選択は、人間の（特に視覚を中心とした）感覚運動系や身体性に強く依存していくものが多く（もちろん、その依存性が少ないものもありますが）、それらについては我々地球人の数学が地球外の知的生命体が持っているであろう数学的学問と大きく異なっている可能性が（当然ながら）高いというものです。