基本的内容が終わったので演習によって理解を深めましょう。
難易度は教科書の節末問題で、基本の理解に丁度良い難易です。

基本演習

１．関数$${y=2x^2}$$の$${x=a}$$における微分係数が 12 に等しいとき、定数$${a}$$の値を求めよ。

２．２次関数$${f(x)=x^2+1}$$について、$${x}$$が$${a}$$から$${b}$$まで変わるときの平均変化率と、$${x=c}$$における微分係数$${f'(c)}$$が等しいとき、$${c}$$を$${a, \: b}$$を用いて表せ。ただし、$${a\neq b}$$とする。

３．関数$${y=x^3-2x^2}$$のグラフについて、傾きが$${-1}$$であるような接線の方程式を求めよ。

４．関数$${f(x)=x^3+ax^2+bx+c}$$が$${x=-3}$$で極大値をとり、$${x=1}$$で極小値$${-12}$$をとるように、定数$${a, \: b, \: c}$$を求めよ。

５．関数$${f(x)=-2x^3+ax^2+3}$$が$${x=1}$$おいて極値をとるとき、定数$${a}$$の値および極値を求めよ。

答え

１．$${a=3}$$　　２．$${c=\dfrac{\:a+b\:}{2}}$$　　３．$${y=-x, \: y=-x+\dfrac{4}{\:27\:}}$$　
４．$${a=3, \: b=-9, \: c=-7}$$　
５．$${a=3}$$　極大値４$${(x=1 \text{のとき})}$$　極小値３$${(x=0 \text{のとき})}$$