理一の数学事始め

静かな数学の世界をゆっくり巡る遊子です。数学は、学生の頃の苦い経験が頭を過り敬遠されが…

理一の数学事始め

静かな数学の世界をゆっくり巡る遊子です。数学は、学生の頃の苦い経験が頭を過り敬遠されがちですが、本当はたのしいものです。もう一度学び直したい人のためにと始めました。大学数学で躓いている場合は、中高数学を理解せず、暗記に頼ってしまったのかもしれません。

  • 数学好きでも本は読む

    学而不思則罔。 思而不学則殆。（學びて思はざれはすなわりくらし。思ひて學ばざればすなわちあやうし。） 読書はこれに加えて、たのしむものですね。哲学、歴史もおもしろいけれど、小説もおもしろい。もちろん、数学はもっとおもしろい。

  • マガジン６ 数Ⅱ【三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分

    中学数学と高校数学の違いが明確になるのはここからです。これまで学んだ多くの知識を踏まえて話が展開するので理解するのは容易くありません。でも必要な知識を補いながら進めば、理解不足の部分がどこなのかも判るので知識を見直すこともできます。そうなるように知識の確認をしながら話を進めていきます。以前に学んだ知識が不足していると感じたら、無理に先に進まず戻ることも大切です。一回読んだだけで理解できるのは超理想で、実際は何度か繰り返すうちに理解がだんだん深くなり定着していくものです。

  • マガジン３ 関数をはじめから学ぶ　中学から高校数学Ⅰまで

    関数を１から知るためのものです。中学数学の内容であっても、高校、大学の数学を見据えて書きました。中学生には難しい内容ですが、高校数学を一度でも触れたことのある人にとっては理解が深まるはずです。

  • マガジン４ 二項定理、方程式、証明、場合の数（高校数学）

    マガジン１は高校数学Ⅰまでの内容です。このマガジンはより高度な数学をする上での道具を紹介しています。３次以上の展開･因数分解、数学的帰納法もここで紹介しています。組合せ記号は大学以降と同じ記号を使っています。

  • マガジン２ 三角比を含む平面幾何の話

    三角比を理解するためには三角形の相似と円の知識が必要です。相似と円の話をするには三角形の合同の知識が必要です。そして数学には証明が必要です。このように考えてシリーズ9~14を連載しました。でもいま振り返ると、9~11は難しくなってしまいました。

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映像と原作と聖地巡礼

山中 恒氏の著作 　　　　　　　　　『おれがあいつであいつがおれで』 を読んだことはありますか。 ユング心理学 この本を最初に知ったのは心理学者の河合隼雄氏の著書なのですが、引っ越しのときに売り払ってしまい書名を忘れてしまいました。 その本の中では『とりかへばや物語』をユング心理学からの視点で解説していて、その類書としてこの本が紹介されていました。 『とりかへばや物語』と『おれがあいつであいつがおれで』に共通したテーマは男女の入れ替わりです。 この頃は河合隼雄氏の影

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    • 30.11 積分の初歩（定積分と体積）

      30.03 , 30.05 を踏まえた高校数学Ⅲの内容です。これで積分の初歩は終わりです。次回からはベクトルの話をします。 面積から体積へ実数を定義域とする関数$${f(x)}$$があり、区間$${a\leqq x\leqq b}$$において$${f(x)\geqq 0}$$のとき 　　　　　　　　　　　　　　$${\displaystyle \int_{a}^bf(x)dx}$$ は、関数$${f(x)}$$のグラフと$${x}$$軸および２直線$${x=a, \:

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      • 30.10 積分の初歩（偶関数・奇関数）

        特殊な性質の紹介です。 偶関数と定積分 ２次関数$${y=x^2}$$や４次関数$${y=x^4}$$のグラフは、$${y}$$軸に関して対称です。 このような関数を偶関数と呼びます。偶関数の「偶」は指数が偶数であることに一致しています。 この関数の性質を利用すると次が成り立ちます： 　　　　　　$${\displaystyle \int_{-a}^ax^2 dx=2\int_0^ax^2 dx, \quad \int_{-a}^ax^4 dx=2\int_{0}^a

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        • 30.09 積分の初歩（基本演習）

          演習 [1] 曲線$${y=f(x)}$$は点$${(1,2)}$$を通り、その曲線上の各点$${(x,y)}$$における接線の傾きが$${2x-4}$$であるような関数$${f(x)}$$を求めよ。 [2] 次の定積分を求めよ。 　　(1) $${\displaystyle \int_0^3|4-2x|dx}$$　　　　(2) $${\displaystyle \int_{-1}^2x|x-1|dx}$$ [3] 実数を定義域とする関数$${f(x)=\dis

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        映像と原作と聖地巡礼

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        マガジン

        • 数学好きでも本は読む
          13本
        • マガジン６ 数Ⅱ【三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分
          96本
          ¥1,000
        • マガジン３ 関数をはじめから学ぶ　中学から高校数学Ⅰまで
          109本
          ¥500
        • マガジン４ 二項定理、方程式、証明、場合の数（高校数学）
          116本
          ¥500
        • マガジン２ 三角比を含む平面幾何の話
          132本
          ¥500
        • マガジン５ 図形と方程式, ベ〇〇ル、複〇〇〇面
          53本
          ¥300

        記事

          30.08 積分の初歩（定積分と面積２）

          基本だけど間違いやすい問題を扱います。 例題として扱う問題 [1] 曲線$${y=x(x-1)(x-3)}$$と$${x}$$軸とで囲まれた２つの部分の面積の和$${S}$$を求めよ。 [2] 曲線$${y=|x(x-2)|}$$と$${x}$$軸および直線$${x=3}$$とで囲まれた２つの部分の面積の和$${S}$$を求めよ。 [3] 曲線$${y=x^3-4x}$$上の点$${(1, \: -3)}$$における接線とその曲線とで囲まれた部分の面積$${S}

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          30.08 積分の初歩（定積分と面積２）

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          30.07 積分の初歩（1/6公式とその使い方）

          俗に "$${\frac{\:1\:}{6}}$$公式" と呼ばれる積分公式を紹介します。前半は公式の使い方、後半でそれを導き、そのときに使われる計算テクニックの応用についても触れます。 1/6公式とその使い方 まずは 1/6公式と呼ばれるものを紹介します。 　　　　　公式　$${\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{\:1\:}{6}(\beta-\alpha)^3}$$

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          春を機にこれから読書をしようという人へ

          春は、これまであまり本を読んでこなかったけれど、読書をたのしみたいという人が出てくる季節です。本を読むのがたのしいことだと感じているからだと思います。確かに、視野が拡がるし、心を豊かにしてくれるし、疑問が解消されるし、無知の知を実感するし、知りたいことが増えるし、そうしている中に自然と教養が身に着き世界が拡がります。 時には嫌々本を読まなければならないことがあります。学校の課題であったり、仕事上必要なものであったりと。これは苦痛以外のなに物でもありません。本嫌いや深く考えな

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          30.06 積分の初歩（定積分と面積）

          前回の知識を踏まえて、定積分を利用して面積を求める方法を紹介します。定積分の計算ができる前提で話を進めるので、計算が分からない場合は状況に応じ 30.02不定積分の計算、30.03定積分の計算、30.04定積分の計算の工夫などで確認してください。 定積分で本当に面積が求められるの？ 数学的に解決するには、現段階では知識が足りないのですが、どうもそうらしいことは確認できます。そこで 例１　２直線$${y=x+3, \: x=4}$$ および $${x}$$軸, $${y}

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          30.05 積分の初歩（積分記号について）

          面積の話をする前に積分記号について話します。手元に見当たらないのですが、高校生のときブルーバックスの柴田敏男 著『微積分に強くなる』を読んで積分を理解しました。最終章にはイプシロンデルタが書かれています。 積分記号$${\int ▢dx}$$の$${\int}$$にも$${dx}$$にもそれなりの意味があります。この記号は１回目に出てきたライプニッツ(G.W.Leibniz)によるものです。微分の初歩では微分記号に$${f'}$$を用いましたが、$${\frac{dy}{d

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          30.04 積分の初歩（定積分の計算とその工夫）

          定積分の計算はできるようになったでしょうか。できるようになったとしても計算はめんどうですよね。なので少しでも工夫して計算したくなります。今回は、定積分計算の工夫と性質を利用した計算の紹介です。 定積分の基本計算ができる前提で話を進めます。 前回出題した課題「自分なりの計算方法を見つける」はできましたか。 定積分計算の工夫の一例 例（前回の例３と同じ問題） $${\displaystyle \int_2^3 (-x^2+3x)dx}$$を計算してみます。 　　　　　$$

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          30.03 積分の初歩（定積分とその計算）

          ３回目は「定積分」です。新しい記号はありません。１回目に話した、面積を求めるには原始関数が分れば十分であることも話します。 難しいかもしれないので、難しいと思ったら理屈を飛ばして、計算方法に進んでください。そのまま先に進み、積分が使えるようになってからここに戻ってきて理解してください。 注意：本来、関数をいうときには定義域も一緒に表記しますが、この積分の初歩で扱う関数はｎ次関数なので、特に断らない限り定義域は実数全体を想定しています。 定積分 下図のように関数$${f(

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          バナナと電話料金と新たな視点

          緊急なので『台湾ロビー』を紹介することにしました。 パーティー券と政治資金 派閥と裏金 憲法改正 有事法制 沖縄在日米軍 辺野古新基地 台湾有事 世襲議員 岸信介 TSMC NTT法廃案 どの項目に興味がありますか。持ち運びが楽で電話もできちゃうPCを持っている人にとっては、NTT法廃案はとても身近な問題だと思います。いまなら裏金問題に興味を持たれている人が多いでしょうか。実際は、憲法改正 (緊急事態条項) や台湾有事ほど人生を左右しかねない大きな問題はないのですが、あま

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          30.02 積分の初歩（不定積分とその計算）

          ２回目は「不定積分」です。新しい記号が出てくるので、初学者には難しく感じられますが、三角関数や対数関数も最初は難しく感じたのと同じく、そのうちに慣れます。 積分とその記号 関数$${f(x)}$$のグラフ、$${x}$$軸 および２直線$${x=a, \: x=b}$$で囲まれた図形の面積$${S}$$が決定するとき、次のように表記します。

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          30.01 積分の初歩（微積分の入口）

          今回から積分の話をしますが、まずは少しだけ歴史的なことを話します。 １回目は「原始関数」を理解してください。 細かなことは「数学史」の本を読んでもらうことにし、微積分のはじまりを知ってもらうのが目的です。 積分のはじまり 面積や体積を測るのは数を数えるのと同様、私たち人間にとっては身近なことです。紀元前３世紀の古代ギリシャにおいて、アルキメデスが円や楕円の面積および球や回転体の体積などを求めていたそうです。面積や体積を求める方法は、一般に求積法と呼ばれます。アルキメデス

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          30.01 積分の初歩（微積分の入口）

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          SDGs の真の実践

          　　　　　　　木村 秋則 著『リンゴが教えてくれたこと』 昨年末に読んだ『奇跡のリンゴ』で木村秋則さんに興味をもち、木村さん自身が書かれた本を手に取りました。 本の目次： 　　　　はじめに 　　　　第１章　木村、やっと花が咲いだよ 　　　　第２章　農薬はつらい—無農薬･無肥料への一念発起 　　　　第３章　死を覚悟して見つけたこと 　　　　第４章　米の自然栽培は難しくない 　　　　第５章　全国、世界へと広がる輪 　　　　第６章　すべて観察からはじまる 　　　　貧乏にもぶれる

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          29.20 微分の初歩（多項式と重根）

          （無料公開）ｎ次関数に関する発展的な話はこれが最後で、次回からは積分の話をします。 多項式に形式的微分を導入すると、重根について議論することができます。受験数学のテクニックとして教えられたりしますが、この話自体は大学以降の数学の代数（環またはガロア理論）で登場します。 本来、多項式には連続性などがないので微分を考えることはできないのですが、形式的に微分を導入します。 形式的微分ｎ次多項式 　　$${f(x)=ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\cdots+d

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