Je viens d'être malade と je viens de tomber malade.
さて、どこが違うのでしょうか？

全然違います！！！！

いろんなことの確認をしましょう。

まず動詞 être は、「今〜という状態にある」あることを表します。

Je suis fatigué.
Je suis en forme.
Je suis content de partir.
Je ne suis plus malade.

一方動詞 tomber は、次に形容詞を伴って「思いがけず〜という状態に陥ってしまう」ということを表します。ということは、「変化」を表すので直説法現在形では使いにくいということなのです。

「思いがけず今（から）〜になる」は、まずありえないですよね。
思いがけないのであれば、こうなるよという予測や予定は立てづらいですからね。
「繰り返しの習慣」くらいでしょう。

A l'automne, mon fils tombe malade.
秋になると、息子は病気になる。

Quand j'étais petite, je tombais malade la veille de Noël.
小さい頃は、クリスマスの前日に調子を崩していた。

次に、近接過去形にする前に一旦複合過去形にしてみましょう。
J'ai été malade.
Je suis tombé(e) malade.

場面をわかりやすくするために、時間の表現を加えてみましょう。

J'ai été malade la semaine dernière.
Je suis tombé(e) malade la semaine dernière.

全く違う２つの景色が見えてきました。

J'ai été malade la semaine dernière.
複合過去形を使い「今〜である」ということが切り取られたということは、話している時点ではそうではないのです。

J'ai été malade la semaine dernière.
先週は病気である期間があった、病気だった。

Je suis tombé(e) malade la semaine dernière.
複合過去形を使い「思いがけず今（から）〜になる」ことは、先週の何曜日化にそんな状況になってしまったのです。
では今はどうなのでしょう？

元気なのか、病気のままなのか。
わからないのです。
「先週病気になった」ただそれだけです。

ということは…

またまた確認です。
近接過去形（venir de 動詞の原形）は「動詞が表している事柄から抜け出して、今にたどり着いたのです。

Je viens de rentrer.
「帰宅をする」という状況が終わり今があるのです。
お家でくつろいでいる、くつろごうとしているのでしょうか。

Mon mari vient de partir travailler.
「職場へ出発」という状況が終わり今があるのです。
そろそろ駅についた頃、もしくは、一生懸命歩いているのでしょうか。

Je viens d'être malade.
「今病気である」という場面や状況から、たった今抜け出たばかりなのです。病気であるの次の段階は「回復・復帰」ですからね。
今はもうすっかり元気になったのでしょう。

Je viens de tomber malade.
「思いがけず今（から）病気になる」という場面や状況から、たった今抜け出たばかりなのです。病気になるの次の段階は「療養・治療」ですからね。
ということは、今は病気で苦しんでいたり治療をしているところ、なのです。

Je viens d'être malade.
今は回復。
Je viens de tomber malade.
今は病気。

ご参考まで