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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(3/2/2024)}$$
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ここでは$${Diophantine}$$ $${equation}$$の無限にある方程式の中から、より多くの人達の興味を引いてきたものを紹介します。

題名にあるように
$${Equal}$$  $${Sums}$$   $${Of}$$   $${Like}$$   $${Powers}$$
について…
まず、ここから…
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【フェルマーの最終定理】$${\small (Fermat's \<space> Last \<space> Theorem)}$$
$${3}$$以上の自然数$${n}$$ について、$${x^n + y^n = z^n}$$となる自然数の組$${ (x, y, z) }$$は存在しない、という定理である。
$${1995}$$年にアンドリュー・ジョン・ワイルズ$${(Andrew \<space> John \<space> Wiles)}$$によって完全に証明され、ワイルズの定理またはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。
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【オイラー予想】$${(Euler's \<space> conjecture)}$$
フェルマーの最終定理を拡張して、
$${x^4 + y^4 + z^4 = w^4}$$
を満たす自然数の解$${(x, y, z, w)}$$は存在しない、と予想した。同様に、
$${x^5 + y^5 + z^5 + w^5 = v^5\\x^6 + y^6 + z^6 + w^6 + v^6 = u^6}$$
を満たす自然数の解も存在しない、とした。
すなわち、$${n > 3}$$ とすると、$${n − 1}$$ 個の $${n}$$乗数の和を$${1}$$個の$${ n }$$乗数で表すことはできないということを示唆した。 これが、オイラー予想である。

しかし$${1966}$$年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって $${n = 5 }$$の場合の反例として解が発見された。
$${144^5=133^5+110^5+84^5+27^5\\\small (Lander, Parkin \<space> and \<space> Selfridge,1966)}$$

また$${1986}$$年にハーバード大学のノーム・エルキーズ$${(Noam \<space> Elkies)}$$が、楕円曲線論とコンピュータを用いて $${n = 4 }$$の場合の反例を発見し、同時に解は無限に存在することも示され、約$${200}$$年間未解決となっていたオイラー予想は否定的に解決された。
$${\footnotesize 20615673^4=18796760^4+15365639^4+2682440^4\\\small (Noam \<space> Elkies, 1986)}$$

$${n \geqq6 }$$の場合の反例があるのかは未解決。
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【ランダー・パーキン・セルフリッジ予想】
$${\small (Lander, Parkin, and \<space> Selfridge \<space> conjecture)}$$
同じ次数の和からなる方程式の整数解についての予想であり、$${k}$$乗数の和が$${k}$$乗数の和と等しい場合、項の数は少なくとも$${k}$$個であるという予想である。
フェルマーの最終定理の一般化のひとつである。

$${1}$$より大きい$${n}$$と、自然数
$${a_1,a_2,…a_n,b_1,b_2…b_m}$$に対して
$${\sum\limits_{i=1}^n\ a_i^k}$$ $${=}$$ $${\sum\limits_{j=1}^m\ b_j^k}$$が成立する場合は
$${n+m \geqq k }$$であるという予想。未解決。
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【勝手な予想】
ランダー・パーキン・セルフリッジ予想の$${(k,n,m)=(3,1,3)}$$の時は
$${case(13.2)}$$  $${w^3=x^3+y^3+z^3}$$
となり、無限に解が存在する。
ここで、次数や係数や項数を変えるのではなく、
解が【自然数】→【素数】に制限を強くしてみる。
既に次の解
$${709^3=631^3+461^3+193^3\\\small  (Jean \<space> Charles \<space> Meyrignac, 9/8/2000)}$$
というのがあるらしい…。
もう少し大きな数字まで検索すると意外にも解が次から次に出てくる…
$${1033^3=823^3+691^3+599^3\\2767^3=2213^3+2179^3+103^3\\2791^3=2447^3+1879^3+769^3}$$

$${1}$$は素数じゃないけど…こんなのもどうぞ…
$${69709^3=56503^3+54101^3+1^3\\\small(Takao \<space> Nakamura, 2/2/2024)}$$
$${1}$$以外は全て素数‼︎↑因みにこれ私↑

【予想】
全て素数だけからなる解の、右辺の解が$${2}$$通り、
$${3}$$通り、…$${n}$$通りの場合はあるのか？

$${2}$$通りに表される解を次の$${3}$$組発見。
$${(w \leqq 200,000)}$$
$${\begin{aligned}28477^3 &=27361^3+11071^3+10781^3\\&=26183^3+17203^3+3739^3 \end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}33199^3&=30941^3+19081^3+2833^3\\&=26647^3+24197^3+15187^3 \end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}49069^3&=40343^3+37441^3+661^3\\&=38119^3+37243^3+22307^3 \end{aligned}}$$
$${\small (Takao \<space> Nakamura, 2/2/2024)}$$

$${3}$$通り以上の解、$${w \leqq 200,000}$$の範囲で検索しましたが見つからず。

$${3}$$乗を$${5}$$乗に増やして項数も増やした結果は次の通り。
$${(5,1,7)}$$
$${\small1709=1567+1373+719+503+431+367+349}$$
$${\small(Michael \<space> Lau, 8/20/2002)}$$

$${(5,1,7)}$$
$${\small 2843=2731+1933+1459+709+509+271+31}$$
$${\small(Jean-Charles \<space> Meyrignac, 9/13/2000)}$$

$${(5,1,7)}$$
$${\small 4027=3301+3169+3037+2411+1481+859+569}$$
$${\small(Takao \<space> Nakamura, 2/10/2008)}$$
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以下は下記サイトの$${Database}$$から抜粋
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$${Computing \<space> Minimal\\Equal \<space> Sums \<space> Of \<space> Like \<space> Powers}$$
から抜粋。

$${The \<space> notation \<space> is:}$$
$${(k, m, n)}$$
$${where:}$$
$${k \<space> = \<space> power}$$
$${m \<space> = \<space> number \<space> of \<space> left \<space> terms}$$
$${n \<space> = \<space> number \<space> of \<space> right \<space> terms}$$
$${*x \<space> means \<space> that \<space> we \<space> have \<space> to \<space> add \<space> x \<space> times\\the \<space> number.}$$
$${Example:}$$
$${38*2+3=\\41+23+20*2+18+13*2+12+9}$$
$${is \<space> equivalent \<space> to:}$$
$${38+38+3=\\41+23+20+20+18+13+13+12+9}$$
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$${(4,1,3)\\422481=414560+217519+95800\\(Roger <space> Frye, 1988)}$$

$${(4,1,3)\\20615673=\\18796760+15365639+2682440\\(Noam <space> Elkies, 1986)}$$
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$${(5,1,4)\\144=133+110+84+27\\(Lander, Parkin \<space> and \<space> Selfridge,1966)}$$

$${(5,1,4)\\85359=85282+28969+3183+55 \\(Jim \<space> Frye, 08/27/2004) }$$
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$${(6,1,7)\\1141=1077+894+702+474+402+234+74 \\(Lander, Parkin \<space> and \<space> Selfridge,1966)}$$
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$${(7,1,7) \\568=525+439+430+413+266+258+127\\(Mark \<space> Dodrill, 03/20/1999)}$$

$${(7,1,7)\\626=625+309+258+255+158+148+91\\(Maurice \<space> Blondot, 11/14/2000)}$$

$${(7,1,7)\\3157=2854+2665+2429+1931+1619+848+177\\(Nuutti \<space> Kuosa, 02/28/2002) }$$
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$${(8,1,8)\\1409=1324+1190+1088+748+524+478+223+90\\(Scott \<space> I. Chase)}$$
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$${(9,1,10)\\917=851+822+668+625+574+542+475+179+99+42\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 11/07/2002)}$$

$${(9,1,11)\\404=392+340+267+200+135+101+60+52+44+9+4\\(Aloril, 1/1/2002)}$$
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$${(10,1,12)\\1772=1684+1603+1234+1011+927+689+533+295+245+172+115+62\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 01/11/2005)}$$

$${(10,1,13)\\228=210+204+187+179+128+122+85+73+59+57+49+13+6\\(Scott \<space> I. Chase) }$$
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$${(11,1,15)\\249=237+215+210+182+173+170+135+125+68*2+42*2+39+32+29\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 11/29/2003)}$$

$${(11,1,16)\\78=71+69+66+64+63+52+47+43+29+23*2+22+14+12+7+1\\(Luigi \<space> Morelli, 07/20/1999) }$$
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$${(12,1,19)\\1051=942+936+932+910+806+758+646+636+588+572+504+436+426+250+208+120+62+42+27\\(Jaroslaw \<space>  Wroblewski, 02/21/2005)}$$

$${(12,1,21)\\436=399+390+384+367+317+299+273*2+267+260+258+245+233+210+149+83+77+53+45+39*2\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 11/12/2003) }$$
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$${(13,1,21)\\274=259+247+235+210*2+208+205+180+175+162+157+150+149+106+100+80+58+45+26*2+16\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 04/20/2003)}$$

$${(13,1,22)\\334=326+301+216+215*2+196+180+176+165+161+132*2+110+108+90+83+71+68+60+40+14+5\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 02/21/2003) }$$
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$${(14,1,25)\\112=100+98*3+96+94+89+88*2+80*2+71+70*2+62+53+49+48*2+47+37+33+27+14+6\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 09/23/2005)}$$

$${(14,1,25)\\126=119+109+107+105*2+103+102+99+91+87+69+68+58+49+46+44+42+33+27+22+20+18+13+11+7\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 09/23/2005)}$$

$${(14,1,25)\\176=168+156+147*2+144+138*2+114+113+108+102+98*2+76*2+67+63*2+55+54+52+50+42*2+1\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 11/03/2003) }$$
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$${(15,1,28)\\197=185+178+170+169+166+165+155+135+127+125+122+120*2+105+99+95*2+87+76+75+68+64+41+38+36+22+19+10\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 09/05/2003) }$$
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$${(16,1,49)\\2601=2598+1972+1870+1564*2+1530+1496+1495+1462+1394+1350+1292+1258+1172+1138+1122*2+1056+1038+1008+884*3+868+818+816*2+748+714*3+650+646*2+636+522+408*2+340+238*2+210+204+170+134+68+52+34+32\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 04/21/2004)}$$

$${(16,1,51)\\2091=2005+1960+1770+1692+1600+1536*2+1344+1334+1280*2+1216+1152+1072+1056+960+896*2+864*2+820+768*4+720+688*2+672*3+632+614+512+448+416+352*3+328+192*2+160+148+128+112+96+64*3+32\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 08/21/2002) }$$
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$${(17,1,39)\\208=196+189*2+182+176+171+167+165+138+133+129+126*3+113+111+105+101+98*2+91+87+84+83+81*2+77+70+48+42+40+39+33+28+21+14+10+9+1\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 05/26/2004) }$$
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$${(18,1,57)\\76=73*2+60*2+54+50+45+44+41*4+40*4+33*6+27*3+25+24*3+18*2+17+13*2+12+11*2+9*2+8+6*6+5*6+3*2+2*3\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 09/27/2002)}$$

$${(18,1,60)\\39=37+36+33*5+32*3+30+29*4+27*10+26*2+24+22+21+19*2+18+17*4+16*2+15*9+14+12+11+10+9+7+6*2+2*2+1*2\\(Fumitaka \<space> Yura, 12/27/2000) }$$
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$${(19,1,51)\\71=68+65+64+63+61+59+57*2+56+48*4+46+45*2+42*3+40+39+37*2+36+35*3+33+31+30*3+23+20+18*2+15*2+12+11+10*2+9*3+8+7*2+6+4*2\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 02/06/2003) }$$
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$${(20,1,61)\\106=98*4+91+89*3+84*2+81+77*2+72+71+70*4+68+67+63*2+56*4+53*2+49*2+48+44+42*2+40+39+38+37*2+35+33*2+30+28*2+25*3+23+21+19+18+14*2+13+9+3*2+2+1\\(Jaroslaw \<space> Wroblewski, 08/09/2004)}$$

$${(20,1,65)\\50=47*2+45+44*2+43+42+41*2+40+39+37*2+35*2+32*5+30+29*6+24+23*2+22*6+20*5+17*2+15+13*5+11+10*3+8*3+7+5+4*2+3+2*3+1\\(Fumitaka \<space>  Yura, 12/28/2001)}$$
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