３．2次関数の最大値・最小値と値域

　関数 $${y=f(x)}$$ は，定義域を $${a≦x≦b}$$ とすると，この $${x}$$ の範囲で $${y}$$ の値が一番大きくなることろが存在します。これを $${M}$$ としましょう。すなわち $${f(c_1)=M}$$ となる $${c_1}$$ が $${a≦c_1≦b}$$ を満たします。同様に $${y}$$ の値の一番小さい $${m}$$ が存在して $${f(c_2)=m}$$ となる $${c_2}$$ が $${a≦c_2≦b}$$ を満たします。そして，$${M}$$ を $${f(x)}$$ の最大値，$${m}$$ を $${f(x)}$$ の最小値といいます。
　このとき，$${y=f(x)}$$ の定義域 $${a≦x≦b}$$ における値域は $${m≦y≦M}$$ となります。つまり，ある定義域内で，関数の最大値 $${M}$$ と最小値 $${m}$$ がわかっていれば，その関数の値域は $${m≦y≦M}$$ となるということです。

【注】ある定義域で最大値または最小値が存在しない場合もあるので，上述の考え方では値域が決められないこともあります。

　それでは 2 次関数 $${y=x^2-2x}$$ についてい，以下のそれぞれの定義域について，値域を求めていきましょう。

（ⅰ）定義域が $${-2≦x≦-1}$$ のとき
　考えるべき 2 次関数のグラフの特徴は，$${x^2}$$ の係数が正の場合，対称軸より左側は $${x}$$ の値が増加するとそれにともなって $${y}$$ の値が減少し，対称軸より右側は $${x}$$ の値が増加するとそれにともなって $${y}$$ の値が増加することです。
2 次関数 $${y=x^2-2x}$$ は $${y=(x-1)^2-1}$$ と変形（$${y=(x-1)^2-1}$$ の右辺を展開して整理すると $${y=x^2-2x}$$ となることから確認できます。） できて対称軸は $${x=1}$$ です。（対称軸は前回示した方法から $${x=-\cfrac{-2}{2×1}=1}$$ としても求められます。）
いま，定義域は $${-2≦x≦-1}$$ で，この範囲は対称軸より左側にあるので，$${x}$$ の値が増加すると $${y}$$ の値が減少します。よって，$${y=x^2-2x}$$ は $${x=-2}$$ で最大値を，$${x=-1}$$ で最小値をとることになります。
　　$${x=-2}$$ では $${y=(-2)^2-2×(-2)=4+4=8}$$
　　$${x=-1}$$ では $${y=(-1)^2-2×(-1)=1+2=3}$$
となるので，値域は $${3≦y≦8}$$ です。

（ⅱ）定義域が $${-1≦x≦2}$$ のとき
　対称軸が定義域内にある場合になります。ここで考えるべき 2 次関数のグラフの特徴は，$${x^2}$$ の係数が正の場合，対称軸から離れれば離れるほど，$${y}$$ の値が大きくなるということです。$${x=-1}$$ のとき $${y=3}$$，$${x=2}$$ のとき $${y=0}$$ となり $${0<3}$$ ですが，この大小関係は，対称軸からの距離を考えることでも判断できます。
すなわち，$${x=-1}$$ は $${1-(-1)=2}$$，$${x=2}$$ は $${2-1=1}$$ なので，$${x=-1}$$ の方が $${x=2}$$ の方よりも対称軸からより遠くにあるからです。さらに，定義域内で対称軸から一番離れているのが，この $${x=-1}$$ となる点 $${(-1，3)}$$ となっています。したがって，$${y=x^2-2x}$$ は $${x=-1}$$ で最大値 $${3}$$ をとります。
次に最小値を与える点はどこになるか考えます。グラフでは対称軸の前後で $${y}$$ の値が減少から増加へ転じることから，頂点 $${(1，-1)}$$ が最下点です。よって，最小値は $${-1}$$ であると決まります。したがって値域は，$${-1≦y≦3}$$ となります。

（ⅲ）定義域が $${2≦x≦4}$$ のとき
　定義域が対称軸の右側にある場合になります。対称軸の右側では $${x}$$ の値が増加するとそれにともなって $${y}$$ の値が増加するので，$${y=0}$$（$${x=2}$$ のところ）が最小値，$${y=8}$$（$${x=4}$$ のところ）が最大値となります。よって，値域は $${0≦y≦8}$$ です。

以上を図示すると，以下のとおりです。

練習問題　$${y=2x^2-4x+3}$$ において，定義域が $${-2≦x≦3}$$ のときの値域を求めなさい。
　【ヒント】$${y=2x^2-4x+3}$$ は $${y=2(x-1)^2+1}$$ と変形できます。

【答】$${1≦y≦19}$$