配列内に目的のオブジェクトを含むか確認するときは
expect(array).toContainEqual(item)

オブジェクトのプロパティがあるかどうかはtoBeDefinedでチェック

Updateのテストは以下のような感じで
superagentではput.sendでテストデータを送る

test('can update a blog', async () => {
    const blogsAtStart = await helper.blogsInDb()
    let blogToUpdate = blogsAtStart[0]
    blogToUpdate.author = 'Masha-bon'
    const response = await api
        .put(`/api/blogs/${blogToUpdate.id}`)
        .send(blogToUpdate)
        .expect(200)
    expect(response.body.author).toContain(blogToUpdate.author)
})