息抜きにユークリッド原論の「原論の解説」という章を読んでいたら、
結構面白い発見があったので、読み途中ですが書いておきます。

とあるコミュニティにて、「虚数って"在る"の？」みたいな話になったときのこと。

私「いやいや自然数が直感的なのに対して虚数が直感的じゃないから"無い"って言うなら、円周率だって"無い"ってことになっちゃうんじゃないですか？」
ある方「円周率なら3.1415くらいで許してやるか、という気持ちになりますが…」

というような旨の会話がありました。
その時は、(そうかぁ……？そうなのか……う〜んでも……)と上手く返せずモヤってたのですが、
思いがけず、その答えを原論で見つけました。

紀元前5世紀頃には既に、三段論法や背理法など厳密な論理に基づく数学が興っていた、という部分。
この頃、直感的・経験的な立場から、仮定的・演繹的な立場へと移行していったそうです。
ここに、

という一文があり、カルチャーショックのようなものを受けました。

つまりどういうことかというと、
「無理数か有理数か」という問い自体が、直感的な数学からは想定することが不可能な問いなんです。

例えば、「円周率は無理数か」という問いに答えるのに、「精密に測る」という方法は使えません。
なぜなら、たとえ近未来的なスーパー観測機器を使って円周率を100桁まで測れたとしても(これは原子や素粒子よりずっと細かい数です)、円周率が無理数か有理数かを判定することはできないからです。
「測る」という方法でこれを判定するためには「無限の精度」が必要になります。
そんな無理難題であっても、「円周率が無理数である」ということが知られているのは、「測る」という「現実世界の出来事」あるいは「直感的な方法」から離れ、「仮想の完全に厳密な数学世界において、論理のみで命題を示す」ということをしたからです。

「仮定的・演繹的な数学」以前の数学、つまり「直感的・経験的な数学」ではもしかすると、
「100個の直角三角形で三平方の定理が成り立っていたから、この定理は正しい！」
という形式だったのかもしれません。
この形であれば、小数点何桁以下は無視されているでしょう。
「現実世界と折り合いをつけるための妥協」が必要だからです。

ですが、現代数学からしてみればこんなもの厳密でも論理でもない。
「論理的に厳密であること」というのは、「現実世界から離れ仮想世界で思考するということ」なんだなぁということを、「原論の解説」のp8目にして理解させられました。

「虚数なんて存在しない」というのと全く同じような構造の議論が、
紀元前何世紀のギリシャで既に行われていたのかなと思うと、非常に興味深いですね。