少し前から持っている計量テンソルの行列表示についての疑問をメモしておこうと思います。あくまで考えている過程のメモなので、書いてあることが正しくない可能性は非常に高いです。その点に注意してください。

Q 01. 計量テンソルは行列なのか？

自分の考え：
多分 No。共変計量テンソルは反変ベクトルを共変ベクトルにうつす写像であるが、行列は反変→反変のようにうつし、共変/反変の変換は起こらない。テンソルはあくまでテンソルであり、行列とは本来別概念。n 解のテンソルは、n 個のベクトルをスカラーにうつす写像として定義される。

Q 02. では計量テンソルの行列表示とは何か？

自分の考え：
計量テンソルを成分で書き、それを並べて行列にしたもの。テンソルの成分と行列の成分を 1 対 1 に対応させるため、テンソルを行列で表示することが可能。群論で言うところの表現に類似？