タイトルにある通りですが，Differential Geometry (Loring W. Tu 著)の問題12.5でかなり苦労したので，今後他の方がこの本で勉強する際の参考になればと思い自分の解答を公開しておきます．

記号や言葉の意味はテキストを参考にしてください．

結論だけ言えば，計量にかかっている$${a}$$が関数であるため，§12までの内容だけでは足りず，ラプラシアンというものが必要になってくるのでそれの導入を行なってから解答を書いています．

この本の演習問題は，基本的には本文を理解していれば解けるようになっているようなので，おそらくこの問題はミスなのではないかと思っています．

実際，$${a}$$が点$${p \in M}$$に依らず定数ならラプラシアンの項は0になるので§12の演習問題として理解できます．