love：　〜が大好きである、〜を愛している
dog：　イヌ

no matter what
「no matter」に「wh語」をくっつけた表現があります。
「たとえ〜でも」という譲歩を表すフレーズを作る時に使われます。
後ろには文もしくは文の一部がきます。

・no matter what＝whatever
　たとえ何を〜しようとも

・no matter how＝however
　たとえどう〜しようとも

・no matter when＝whenever
　たとえいつ〜しようとも

・no matter where＝wherever
　たとえどこで〜しようとも

・no matter who＝whoever
　たとえ誰が〜しようとも

など他にもたくさんあります。

「今日の英語」では「no matter what」が使われています。
これを「whatever」を使って書き換えると、
I love dogs no matter what they do.
⇒I love dogs whatever they do.
となります。

「no matter」を使った方がくだけた表現とされています。