日本語にも韓国語にも強調する言葉には色々あります。日本語にすると概ね「とても」のような感覚ですが、厳密に言えばより似合う言葉が決まっていたりします。
 日本で勉強しているとニュアンスや場面を掴むのが難しいので、まずは使われる場面事に一つ一つ当てはめて覚えることをおすすめ致します。
 今日はよく聞く単語をいくつかあげて、使い分けのコツをご紹介します。

①아주/굉장히 ; とても

 こちらは、書き言葉にも話し言葉にもよく使われます。場面や相手を選ばない感じがして客観的に聞こえます。
 個人的には「とても」に一番近いように聞こえます。

★ポイント⇒客観的に伝わる

例文)
오늘은 아주 덥네요.(今日はとても暑いですね)
한국어 발음은 굉장히 어렵습니다.(韓国語の発音はとても難しいです)

②많이 ; けっこう   だいぶ  (たくさん)

 こちらは、辞書等で「たくさん」として出ているため、「たくさん」の認識でいらっしゃる方が多いようですが、実は「많이」の対象になるのは、物だけではなく「感覚」「感じ方のボリューム」に使う場合が殆どです。そういうわけで「けっこう」「だいぶ」のような、程度を表す訳になる場合が多いです。
 その人の中での感覚のボリュームなので、個人的な感覚に使い、後ろに形容詞や状態を表す言葉が似合います。

★ポイント⇒その人の中で何かが「オーバー」している

例文)
이번 주는 아주 바빠서 많이 피곤해요.(今週はとても忙しいので結構疲れています)
한국어가 많이 늘었어요.(韓国語がだいぶ伸びました)
오늘은 많이 힘들었어요.(今日はかなり大変でした)

③너무 ; ～すぎる

 こちらは、会話で使われます。
 話し手の中でちょうど良いと思う(予想している)一定の基準があって、そこから「一線外れてる」感覚があるので、「とても」よりは「～すぎる」の訳が似合います。
 プラス場面にもマイナス場面にもよく似合って、2回繰り返して言う人も多いです。

★ポイント⇒ちょうど良い程度からずれている

例文)
이 떡볶이는 너무 매워요.(このトッポッキは辛すぎます)
어제는 너무 너무 바빠서 아무것도 못했어요.(昨日は忙しすぎて何もできませんでした)

④너무 많이 ; とても～すぎる    あまりにも～すぎる

 こちらの言い方は、寛容的に「セット」みたいに使われる感じがします。

★ポイント⇒(主にマイナスが多いが)とにかく感覚を強調したい

例文)
술을 너무 많이 마셔서 머리가 아파요.(お酒をあまりにも飲みすぎて頭が痛いです)
배가 너무 많이 고파서 피자를 다 먹었어요.(お腹があまりにも空きすぎてピザを全部食べました)

※訳はその場面の感覚によって、日本語に似合う言い方にすれば大丈夫です。