現在、今年の国立大の入試問題(数学)を少しずつ解き進めている
覚書の意味も込めて、各大学の大問ごとの解答の方針や所感をまとめていく

第1問　二次関数の通過領域

曲線の通過領域を求める問題で(1)が完全な誘導になっていた
(1)は2曲線の式を連立し、2次方程式の解の配置問題として処理するのが王道
(2)は(a,b)の方程式の解が(1)の範囲に存在する(x,y)の条件を作る逆像法でOK
場合分けは若干多いが、落ち着いて一つずつ処理して領域を図示すれば良い

難易度としては平均的で、東大理系を受験するならできるようにしたい問題

第2問　複素数の取りうる範囲の図示

f(z)のzに具体的な値を代入して、指定された文字について解く(1)は易しい
(2)ではα, β, γをパラメータにもつ複素数の存在範囲を考えることになる
3つもパラメータが現れるが、本問ではそれぞれが独立なパラメータなので実はそこまで難しくはない
ベクトルと点の存在領域の考え方を思い出しながら領域を図示すれば良い

未知数が多く、何をすれば良いのか混乱しがちだが、落ち着いて式を整理すれば見通し自体は立ちやすい
難易度は第1問に引き続き平均的であった

第3問　曲線と接線の交点・定積分の計算

接線の方程式を立式し、曲線の方程式と連立、方程式をとけば(1)は解決
(2)はここ数年のトレンド(なのか、)ガチガチの計算力勝負の問題
式を整理し求める定積分をバラせば、tanへの置換が定石の定積分など典型的な定積分の形に帰着できる
ミスなく最後まで計算しきれるかが問われる問題であった

上述の通り、第3問は計算力「しか」問われていないような問題になっている
思考力も何もあったものではないが、まぁ確かに計算力は大事だろう
計算力さえあればこの大問は易しい

第4問　整数の論証(nCr・4で割った余りに注目)

(1)〜(3)の論証を元に2021C37を計算する問題である
(1)はあまりによる分類や合同式の練習問題としてもってこいのレベル
対して(2)がなかなかハードで、(2)ができれば(3)は芋づる式に解決される
いくつか実験してみれば、aCbと4a+1C4b+1が共に奇数の場合は示すべきことは明らか、偶奇が異なることはありえず、共に偶数の場合は素因数2の指数が同じになって、約分すれば奇数同士の分数にできることが予想される
あとはこれをどのように論証するかがポイントであった
実は書き下してみれば偶奇が現れるタイミングや約分の可否がわかりやすい
示すべきことを明白にし、どのすれば示せそうかを手を動かしながら考察すれば対応できる問題になっていた

(2)の論証がなかなか難しいので、ここでつまづく人が多いと思われる
大問全体の難易度は(2)にひきづられてやや難しい構成であった

第5問　サイクロイドと曲線上にない点の距離

サイクロイドと外部点との距離を関数にし、導関数について考察する問題
f(θ)を指定された通り導き、そこから導関数を求めてみることになるが、一見して符号がわかる形とは言えない
初見時に解いたときは、さらに第2次、第3次導関数まで出して、符号の考察をしたが、f'(θ)の段階で、符号がわかる形による括りだしでも考えられた
(2)は(1)のf'(θ)の考察がそのまま活きてくる問題であった

(1)がじっくり考えられれば、(2)で満たすべき条件はそこまで難しくはない
難易度は平均的〜やや難しいの中間くらいで、難問と言えるほどではないが簡単でもない、そんな構成であった

第6問　4次式の因数分解

恒等式の変形を係数比較によって進める問題
なお、係数比較に際して(1)で定数項は使わず、(2)で利用することになる
(3)は(1),(2)が誘導なのだが、因数分解をするにあたって考えるべき式の形の可能性を絞る必要がある
その意味で細かい点まで論証するのは骨が折れる問題であった
ちなみに、それ以外は誘導がはっきりしていることからそこまで難しくない

全体で満点をとるのは難しい問題ではあるが、8割程度なら取りやすい問題であった