この記事は、共立出版　藤原彰夫著　「情報幾何学の基礎～情報の内的構造を捉える新たな地平～」　P71の曲率テンソル場の話に出てくる式の展開について、という非常にlocalな記事です。私自身初心者なのでこの行間を埋めるのに少々時間を要しました。

　問題のTaylor展開は

$$
\textstyle{\prod_{x+\delta_{i}}^{x+\delta_{i}+\delta_{j}}} \partial_{k}\left( x+\delta_{i}+\delta_{j}\right)
= \partial_{k}\left( x+\delta_{i}\right) + \varepsilon_{j}\Gamma_{jk}{}^{l}\left(x+\delta_{i}\right)\partial_{l}\left( x+\delta_{i}\right)
$$

$$
+ \varepsilon_{j}^{2}A_{jk}{}^{l}\left(x+\delta_{i}\right)\partial_{l}\left( x+\delta_{i}\right) + O\left( \varepsilon_{j}^{3}\right)
$$

です。

設定

　問題を設定していきます。テキストより少し一般的な場合で式展開をして後で条件を代入していく方針をとります。こちらの方が添え字を気にしなくてよいので機械的に手が動くと思います。

　M上の点$${p(0)}$$と十分近くの点$${p(1)}$$を"速度一定"で動くような曲線$${C=\{p(t);0\leq t\leq1\}}$$をとる。$${p(t)=(x^{1}(t),\dotsc ,x^{n}(t))}$$と局所座標表示したときに各$${i}$$で$${\dot{x}^{i}(t)=\varepsilon^{i}=\mathrm{Const.}}$$ということである。

計算

第一段階

　点$${p(0)}$$上のベクトル$${Z_{p(0)}=Z^{i}(t)\left(\dfrac{\partial}{\partial x^{i}}\right)_{p(0)}}$$の平行移動の式は、式(3.9)より

$$
\dot{Z}^{k}(t) + \Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\dot{x}^{i}(t)Z^{j}(t) = 0
$$

である。今回の設定では$${\dot{x}^{i}(t)=\varepsilon^{i}=\mathrm{Const.}}$$であるから、

$$
\dot{Z}^{k}(t) + \Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\varepsilon^{i}Z^{j}(t) = 0
$$

となる。この両辺をもう一度$${t}$$で微分して

$$
\ddot{Z}^{k}(t) + \varepsilon^{l}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\varepsilon^{i}Z^{j}(t) + \Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\varepsilon^{i}\dot{Z}^{j}(t) = 0
$$

ひとつ前の式を代入して

$$
\ddot{Z}^{k}(t) + \partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\varepsilon^{l}\varepsilon^{i}Z^{j}(t) - \Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\Gamma_{ml}{}^{j}(p(t))\varepsilon^{i}\varepsilon^{m}Z^{l}(t) = 0
$$

を得る。この2式をそれぞれ移項して

$$
\dot{Z}^{k}(t) = -\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\varepsilon^{i}Z^{j}(t)
$$

$$
\ddot{Z}^{k}(t) = -\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\varepsilon^{l}\varepsilon^{i}Z^{j}(t) + \Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\Gamma_{ml}{}^{j}(p(t))\varepsilon^{i}\varepsilon^{m}Z^{l}(t)
$$

という形にしておく。$${Z^{k}(t)}$$のTaylor展開は

$$
Z^{k}(t) = Z^{k}(0) + \dot{Z}^{k}(0)t + \dfrac{1}{2}\ddot{Z}^{k}(0)t^{2} + O(t^{3})
$$

である。ここで実は$${Z^{k}(t)}$$の$${n}$$次の項は$${\varepsilon}$$の$${n}$$次の微小項になるから（$${\Gamma_{ij}{}^{k}}$$を微分する度に$${\varepsilon}$$が一つ出てくる。）

$$
Z^{k}(t) = Z^{k}(0) + \dot{Z}^{k}(0)t + \dfrac{1}{2}\ddot{Z}^{k}(0)t^{2} + O(\varepsilon^{3})
$$

と書いてよい（物理屋目線）。ここに1階、2階微分の式を代入して

$$
Z^{k}(t) = Z^{k}(0) -\Gamma_{ij}{}^{k}(p(0))\varepsilon^{i}Z^{j}(0)t
$$

$$
- \dfrac{1}{2}\left(\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(0))\varepsilon^{l}\varepsilon^{i}Z^{j}(0) - \Gamma_{ij}{}^{k}(p(0))\Gamma_{ml}{}^{j}(p(0))\varepsilon^{i}\varepsilon^{m}Z^{l}(0)\right)t^{2} + O(\varepsilon^{3})
$$

この式に出てくる4つのChristoffel記号を左から①②③④とする。②に関しては$${\partial_{l}}$$も含める。一旦ここで止めておく。

第二段階

Christoffel記号のTaylor展開をしていく。

$$
\dot{\Gamma}_{ij}{}^{k}(p(t)) = \varepsilon^{l}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))
$$

より

$$
\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) = \Gamma_{ij}{}^{k}(p(0)) + \varepsilon^{l}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(0))t +O(\varepsilon^{2})
$$

を得る。また$${\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))}$$のTaylor展開は

$$
\dfrac{d}{dt}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) = \dfrac{d x^{m}}{d t}\partial_{m}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) =\varepsilon^{m}\partial_{m}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) = O(\varepsilon)
$$

より

$$
\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) = \partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(0)) + O(\varepsilon)
$$

を得る。これらから3つの式

$$
\Gamma_{ij}{}^{k}(p(0)) = \Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) - \varepsilon^{l}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))t +O(\varepsilon^{2})
$$

$$
\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(0)) = \partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) + O(\varepsilon)
$$

$$
\Gamma_{ij}{}^{k}(p(0)) = \Gamma_{ij}{}^{k}(p(t)) + O(\varepsilon)
$$

を得る。1つ目の式を①、2つ目の式を②、3つ目の式を③④にそれぞれ代入して、

$$
Z^{k}(t) = Z^{k}(0) - \varepsilon^{i}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))Z^{j}(0)t + \varepsilon^{l}\varepsilon^{i}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))Z^{j}(0)t^{2}
$$

$$
- \dfrac{1}{2}\varepsilon^{l}\varepsilon^{i}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))Z^{j}(0)t^{2} + \dfrac{1}{2}\varepsilon^{i}\varepsilon^{m}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\Gamma_{ml}{}^{j}(p(t))Z^{l}(0)t^{2} + O(\varepsilon^{3})
$$

$$
= Z^{k}(0) - \varepsilon^{i}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))Z^{j}(0)t
$$

$$
+ \dfrac{1}{2}\left(\varepsilon^{l}\varepsilon^{i}\partial_{l}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))Z^{j}(0) + \varepsilon^{i}\varepsilon^{m}\Gamma_{ij}{}^{k}(p(t))\Gamma_{ml}{}^{j}(p(t))Z^{l}(0)\right)t^{2} + O(\varepsilon^{3})
$$

最後

　さて、教科書で問題とされている状況は、$${p(0)=x+\delta_{i}+\delta_{j}}$$、$${p(1)=x+\delta_{i}}$$、$${Z^{k}(0)=1}$$、$${Z^{i}(0)=0\ \ (i\neq k)}$$、$${\varepsilon^{j}=-\varepsilon^{j}}$$、$${\varepsilon^{i}=0\ \ (i\neq j)}$$の場合である。このとき、

$$
\textstyle{\prod_{x+\delta_{i}}^{x+\delta_{i}+\delta_{j}}} \partial_{k}\left( x+\delta_{i}+\delta_{j}\right) = \textstyle{\prod_{p(1)}^{p(0)}}Z(0) = Z^{l}(1)\partial_{l}(p(1))
$$

である。条件を代入して

$$
\textstyle{\prod_{x+\delta_{i}}^{x+\delta_{i}+\delta_{j}}} \partial_{k}\left( x+\delta_{i}+\delta_{j}\right)
= \partial_{k}\left( x+\delta_{i}\right) + \varepsilon_{j}\Gamma_{jk}{}^{l}\left(x+\delta_{i}\right)\partial_{l}\left( x+\delta_{i}\right)
$$

$$
+ \varepsilon_{j}^{2}A_{jk}{}^{l}\left(x+\delta_{i}\right)\partial_{l}\left( x+\delta_{i}\right) + O\left( \varepsilon_{j}^{3}\right)
$$

を得る。これは求めていた等式である。ちょっと行間が長いんじゃねえかなあと思います。