前回，準同型によるイデアルの逆像や像について観察しました．今回はこれを踏まえて，剰余環のイデアルをもとの環のイデアルに対応づけます．

https://youtu.be/hDKozWNV__k

定理（剰余環のイデアルの対応定理）

$${A}$$を環，$${I}$$を$${A}$$のイデアルとし，$${ \pi \colon A \to A/I}$$を剰余環への自然な全射とする．このとき

$${\mathscr{X} :=}$$$${A}$$のイデアルで$${I}$$を包むもの全体
$${\mathscr{Y} :=}$$$${A/I}$$のイデアル全体

とすると，両者の間に包含関係を保つ１対１の対応が存在する．