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第１回　群の定義

群を定義しました．群とは「さまざまな変換の集まり」がもつ性質を抽出して一般化したもので，それゆえに数学のいろいろなところに顔を出します．

第２回　回転と平行移動

平面の変換がなす群の例として「平行移動」「回転」「鏡映」の３種類を紹介しました．これらを全部集めると，図形の合同を裏から支える群ができます．このように群はある「シルエット（特徴）」を保つ変換の集まりとみることができ，群のふるまいがその「シルエット」の性質を浮かび上がらせます．

第３回　複素数の四則演算

慣れ親しんだ演算の例として，複素数の四則演算が群の公理をみたすかどうか考えます．加法と乗法は相性が良さそうですが，減法と除法はどうでしょうか．

第４回　自然数の加法

自然数は加法について群ではありませんが，逆元の存在以外は成立しています．そこで，この加法を尊重して
・逆元を持つ要素だけ集める
・逆元を付け加えて拡大する
の２通りの方法で群を作ります．

第５回　複素数の除法

複素数は乗法について群ではありませんが，前回と同様に逆元の存在以外は成立しています．この乗法を尊重して群を作りたいのですが，この場合に群が作れるのは
・逆元をもつ要素だけ集める
のみで，前回はうまくいった
・逆元を付け加えて拡大する
がこの場合は成立しないことを説明します．

第６回　単位元・逆元の一意性

群において単位元，および各要素の逆元が存在することは知られていますが，実は一意的（ただ１つだけ存在する）であることが分かります．

第７回　アーベル群と加法群

任意の２要素が可換 $${ab = ba}$$である群をアーベル群といいます．

第８回　置換と対称群

群の例として，ある集合$${X}$$から$${X}$$自身への全単射の全体があります．集合$${X}$$の変換全体の群で，これを$${X}$$の対称群といいます．

第９回　簡約律と可除律

簡約律（商の一意性）と可除律（商の存在）を紹介します．これらはいずれも「指定された要素を乗じる」という写像の性質として記述されます．

第１０回　可除律があれば…

可除律（と結合則）をみたす演算を備えた集合が群になることを証明します．