複素函数とその微分の話が出ると必ず出てくるのが、コーシー・リーマンの関係式。
複素数は２次元平面とみなせる複素平面上に定義された函数であるから、その複素平面上のある点で微分可能なためには、この点の周りの二次元領域でどのように点に収束していこうとも、微分が同じになってほしい、と説明される。
そして、その必要十分条件がコーシー・リーマンの関係式である、と説明される。
あっちの記載もこっちの記載もほぼ同じ・・・。

それはわかったんだけど、それってどういうことなの？というのが隔靴掻痒。

以下の記事に
「関数f(z)が微分可能というのは, f(z)が局所的にzの一次関数で近似できるということです. すなわち関数f(z)とzの微小量をそれぞれΔf,ΔzΔと書けば, f(z)が微分可能ということは,
Δf(z)=(定数)ΔzΔ
と表せるということです.」
とあります。

これがどういうことか、というと、複素函数に「平らな接空間が貼り付けられる～1次近似ができる～平面近似ができる」と言うことなのでしょう。

そして、複素数っていうのは、実部と虚部がぐるぐる回ってうまく閉じているものという側面もあるのだけれど、その複素数 z = x + i y を変数として、(x,y)の2変数ではあるけれども、その２変数を完全に自由にするわけではなくて、使うときには、必ずペアにして、片方には i をつけて足し合わせるという規則の下で2変数活用するという条件を付けると、『得てして』コーシー・リーマン制約が満足されやすいし、そのときに、「接面が取れる」よ、そして、それを複素微分とすることで、複素函数の微分を構成すると、とてもすてきに理論が広がるし、そうであってこそ複素数の面目躍如なことがわかるよ、と、これが複素函数論なのかなー、と思われる。